LES INCERTITUDES DE LA GÉOMÉTRIE. 381 
manque absolument de précision. Voici, en effet, comment 
débute le livre premier : 
1 . Le point est ce qui n’a aucune partie. 
2 . Une ligne est une longueur sans largeur. 
3. Les extrémités d’une ligne sont des points. 
4. La ligne droite est celle qui repose également sur ses 
points. 
Dans une définition aussi obscure, il est difficile de 
signaler tel ou tel défaut en particulier; mais l’obscurité 
est elle-même un défaut qui vaut tous les autres ; et l’on 
peut ajouter qu’il serait également difficile de rien tirer 
d’utile d’une pareille définition. 
La définition de Legendre est tout ce qu’il y a de plus 
clair; mais, comme définition servant de point de départ, 
elle est absolument illogique. On l’a pourtant conservée 
dans toutes les éditions successives. Transcrivons-la : 
La ligne droite est le plus court chemin d’un point à un 
autre. 
Cela suppose que le lecteur sait comparer entre elles, 
sous le rapport de la longueur, deux lignes quelconques 
terminées par les mêmes deux points ; que par conséquent 
il a une idée nette de la longueur d’une ligne de figure 
quelconque. Or, l’idée générale de la longueur d’une ligne 
courbe est une des choses les plus difficiles à préciser, et 
l’on n’y parvient qu’à l’aide de connaissances multiples, 
acquises préalablement par l’étude de la géométrie. Mettre 
cette idée au début de cette science, ce n’est pas fonder 
l’édifice, c’est plutôt le mettre sens dessus dessous. Ce 
qui donne une simplicité apparente à la définition de 
Legendre, c’est uniquement cette connaissance expérimen- 
tale qu’un fil tendu est plus court que tout fil non tendu 
ayant les mêmes extrémités, et que le fil tendu est le seul 
dont la position et la figure soient toutes déterminées par 
la position de ses extrémités. Mais cette connaissance, par 
cela même qu’elle est due à l’expérience, doit être exclue 
de la géométrie. 
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