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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES 
nais, M. Aubry a pour lui, contre moi, deux hautes autorités : 
MM. Zeuthen (1) et Heath (2). 
D'après M. Aubry, pour Archimède « la quadrature revient à 
sommer tous les petits rectangles inscrits ou circonscrits, ou à 
envisager le rectangle fictif qui aurait pour base la somme des 
bases de ces rectangles, et pour hauteur l’équidistance des 
tranches ». Jusqu’ici, pas d’observations. Mais M. Aubry ajoute : 
« ce qu’on peut représenter par YIntégrale » 
lim Z“ yAx = | " ydx. 
Appliqués aux quadratures et aux cubalures effectuées par les 
Grecs, le mot Intégrale et la notation \“ ydx m’ont toujours 
semblés incorrects, voire même choquants. Il faudrait s’en tenir 
à l’expression : Somme de rectangles infinitésimaux; et à la 
notation : lim Z" yAx. 
Pratiquement, je le sais bien, les deux expressions et les deux 
notations sont pour nous équivalentes. Mais en quoi diffèrent- 
elles? Précisément par une idée qui manquait aux Grecs et fut 
l’une des grandes découvertes du xvn e siècle : la notion même 
de YIntégrale ■ Que le problème des quadratures fut l’inverse 
de celui des dérivées, aucun Grec ne l’entrevit. Or, comment 
faire abstraction du concept des dérivées, quand, à propos de 
quadratures, on parle d’intégrales? Les artifices si ingénieux, 
imaginés par les Grecs pour sommer les infiniment petits, ne 
consistent jamais à imaginer une fonction primitive, dont la 
fonction proposée serait la dérivée. Voilà bien cependant ce qui 
distingue h proprement parler l’intégration, d’avec les autres 
procédés de sommation des suites illimitées. 
A des savants tels que MM. Aubry, Zeuthen et lleath, en tout 
ceci je ne dis rien qu’ils ne sachent mieux que moi; mais, à des 
géomètres qui n’ont ni le temps ni l’occasion d’étudier les 
Œuvres mêmes d’Archimède, leur parler d’intégration, est-ce 
(1) Histoire < les Mathématiques dans l’Antiquité et le Moyen âge, par 
II. G. Zeuthen. Édition française traduite par Jean Mascart. Paris, Gauthier- 
Villars, 1902; pp. 142-154 et 156. 
(2) TheWorks of Archimedes edited in modem notation with introductory 
chapters, by T. L. Heath. Cambridge. At the University press, 1897. Intro- 
duction, ch. VII. Anticipations by Archimedes of the integra! calculus ; 
pp. CXLIII-CLIV. 
