REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
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Géométrie imaginaire (1835, en russe, 1837, en français), il pari 
au contraire des formules de la trigonométrie non euclidienne, 
dont la compatibilité avec les premières notions géométriques 
est presque évidente. Voici un aperçu des matières traitées dans 
la Géométrie imaginaire et dans les Applications de la géométrie 
à la recherche de quelques intégrales, traduites en allemand par 
M. Liebmann 
1° Géométrie imaginaire (pp. 1-50 de la traduction de 
M. Liebmann). Introduction : les défauts de la Géométrie. 
1-3. Trigonométrie non euclidienne. 4. Différentielle d’un arc 
de courbe plane. 5. Différentielle d'une aire plane. 6-10. Aire 
du cercle; intégrales doubles diverses. 11. Volume et aire 
des surfaces courbes. 12. Cas des surfaces de révolution. 
13-15. Autres expressions pour le volume de la sphère. 16-20. 
Aut res formules de cubatures, avec application au cône asymp- 
totique et à la pyramide à faces toutes rectangulaires. 
2° Applications à la recherche de quelques intégrales (pp. 
51-130 de la traduction de M. Liebmann). I. Préliminaires : for- 
mules fondamentales de la trigonométrie non euclidienne. Aire 
plane et volume. Intégrale de logcosajeLc. 11. Intégrales trouvées 
par transformations simples. III. Cônes finis et cônes asympto- 
tiques. IV. Pyramides tinies et pyramides asymptotiques. V. 
Liste de cinquante intégrales trouvées au moyen de la géométrie 
imaginaire. 
11 11 ’est pas inutile de faire remarquer que Lobatchefsky, pas 
plus que Gauss, Bolyai ou aucun autre géomètre, n’est parvenu 
à trouver le volume de la pyramide non euclidienne en fonction 
explicite de ses côtés, bien qu’il ait attaqué et retourné la 
question de toutes les manières. 
Dans ses notes (pp. 131-188), M. Liebmann a commenté les 
mémoires de Lobatchefsky et il a corrigé un grand nombre de 
fautes d’impression et autres qui se trouvent aussi bien dans la 
première édition russe (1835-1836) que dans la seconde (1883). 
C. Les Recherches géométriqties et la Pangéométrie. 1° Re- 
cherches géométriques. Ce court opuscule est le plus clair de 
tous ceux qu’ait écrits Lobatchefsky. 1-15. Propositions de la 
géométrie qui 11 e dépendent pas du postulatum d’Euelide. 16-25. 
Définition et propriétés des parallèles (asymptotes) lobatchefs- 
kiennes. 26-30. Conséquences diverses ; propriétés de l’angle 
d’asymptotisme. 31-34. Horicycle, horisphère. 35-37. Établis- 
sement de la trigonométrie lobatchefskienne. Par elle-même, 
cette trigonométrie suffit à établir la légitimité de la géométrie 
