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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
personnes nourrissent des préjugés contre cette manière de faire, et 
se figurent que la simplicité du point de départ nuit aux développe- 
ments ultérieurs et les rend moins rigoureux, nous les renvoyons au 
traité de M. Halphen. 
L’auteur commence (chap. i) par définir les fonctions elliptiques à 
discriminant positif, avec un argument réel, par un procédé purement 
géométrique qui donne, au moyen d’une figure bien simple, et sans 
calcul, toutes les formules fondamentales de l’ancienne théorie, et con- 
duit. par une très légère modification, au théorème fondamental de 
Jacobi sur l’addition des arguments. 
Partant de là. M. Halphen démontre les propriétés des trois fonc- 
tions ellipti<iues sn w, en u , du u qui. jusqu’à ce jour, ont servi de 
fondement à la théorie, puis il ajoute : 
■< Toutes ces formules, intéressantes par elles-mêmes, seront utiles 
aux personnes désireuses de lire les anciens ouvrages, et notamment 
les oeuvres de Jacobi. Mais nous ne nous en servirons jamais, et. pour 
la seule étude de ce livre, il est inutile de chercher à les retenir. Il est 
aussi superflu d’examiner longuement les propriétés que nous venons 
de reconnaître aux fonctions sn u. en u. dn u. Ces éléments vont 
désormais être relégués au second plan, et faire place à un élément 
nouveau, la fonction pu (1), introduite par M. Weierstrass. » 
C’est, en effet, la fonction pu qui est la clef du Traité deM. Halphen. 
On sait de quelle importance sont les notations nouvelles de M. Weier- 
strass. qui ont, entre autres, l’inappréciable avantage de fournir, dans 
l’inversion des intégrales elliptiques, les mêmes formules, quel que 
soit le nombre des racines réelles du polynôme placé sous le radical. 
Mais ces notations, déjà employées dans un certain nombre de mémoires, 
principalement en Allemagne, n’avaient pas encore été l’objet d’un 
emploi systématique dans un Traité magistral : c’est cette nouvelle 
sanction que vient de leur donner M. Halphen. 
M. Halphen commence par définir la fonction pu au moyen de la 
fonction sn », et par déduire les principales propriétés de cette fonc- 
tion p» des formules qu’il a établies avec les notations classiques, afin 
de faire saisir le lien qui rattache l’ancienne théorie à la nouvelle. 
Ayant mis le lecteur en possession des principes fondamentaux de la 
théorie de la fonction p pour un argument réel, l’auteur étend la défi- 
nition au cas des arguments imaginaires chap . n). 11 envisage d’abord 
(1) Le carré de la dérivée de la fonction pu s’exprime par un polynôme 
du troisième degré, privé de second terme, en pu. 
