BIBLIOGRAPHIE. 
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le cas d’un argument purement imaginaire, c’est-à-dire sans partie 
réelle, et définit la fonction p pour ce cas en partant de la remarquable 
formule d’homogénéité qui a lieu pour cette fonction, dans le cas où 
l’argument est réel. Sa méthode, qui consiste à définir la fonction j», 
dans ce cas. par une simple convention, pour démontrer ensuite que 
la nouvelle fonction ainsi définie jouit bien des mêmes propriétés que 
celle qui lui a donné naissance, ne laisse rien à désirer sous le rapport 
de la parfaite rigueur. La définition, pour le cas d’un argument com- 
plexe absolument quelconque, se fait alors très aisément en partant de 
la formule d’addition. 
L’introduction de l’argument purement imaginaire a, en outre, con- 
duit tout naturellement à la considération de la période imaginaire, en 
sorte que la propriété de la double périodicité se trouve établie au 
seuil même do la théorie par un procédé des plus directs. 
Nous ne suivrons pas M. Halphen dans les développements pleins 
d’intérêt qu’il donne sur la fonction p d’argument imaginaire. Nous 
avons déjà dit qu’il n’est point un passage du livre qui ne puisse don- 
ner lieu à une remarque intéressante : mais, si nous nous engagions 
dans la voie d’une analyse détaillée, nous ne saurions vraiment pas où 
nous arrêter. La concision deM. Halphen est telle que son œuvre ne 
saurait souffrir d’être résumée, si ce n’est à l’état de sommaire ; son 
admirable clarté rend inutiles tous les commentaires. 
Nous signalerons cependant la façon dont M. Halphen définit les 
fonctions su «, en u et du u d’arguments imaginaires, en partant de 
la fonction pu qui. elle-même, avait été déduite de sn u, pour les argu- 
ments réels. La définition purement géométrique des trois fonctions 
précédentes ne se prêtait pas, en effet, à leur extension immédiate 
pour le cas d’un argument imaginaire, et il y avait intérêt, ne fùt-ce 
que pour un but rétrospectif, à faire connaître cette extension. 
Après avoir, dans ce qui précède, exposé, pour ainsi dire, la genèse 
de son sujet, M. Halphen se place résolument sur le nouveau terrain 
d’où il entend désormais ne plus s’écarter, et commence par donner une 
définition directe, indépendante de toute considération antérieure, de )a 
fonction pu. Il fait voir sommairement de quelle manière cette défini- 
tion directe conduit aux propriétés précédemment reconnues pour la 
fonction pu. tout en faisant observer que son analyse subsiste pour le 
cas, laissé de côté jusqu’à ce moment, d’un discriminant négatif. 
Mais ce cas se distingue du précédent par certaines différences de 
détail qu’il est important de bien connaître. Aussi l’auteur lui consa- 
cre-t-il un chapitre spécial, le troisième du livre, 
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