610 
REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
Dans le chapitre iv, M. Halphen s’étend sur les propriétés delà fonc- 
tion p que ne modifie pas le signe du discriminant. Parmi les sujets 
principaux traités dans ce chapitre, il faut noter la multiplication de 
l’argument qui s’effectue de la façon la plus élégante par l’introduc- 
tion de certaines fonctions auxiliaires que M. Halphen appelle les fonc- 
tions (1), l’étude de certaines équations et de certaines transforma- 
tions qui se rattachent à la fonction p et présentent de l’importance en 
vue des applications, enfin le problème de l’inversion des intégrales 
elliptiques qui reçoit ici une solution aussi élégante qu’originale. A 
cette solution se rattache un mode particulier, fort intéressant, de réso- 
lution de l’équation du quatrième degré. 
La considération de la fonction pu entraîne celle d’un certain nom- 
bre d’autres fonctions, d’une non moins haute importance, et que 
M. Halphen envisage successivement. 
C’est en premier lieu la fonction lu. à laquelle est consacré le cha- 
pitre v. Cette fonction se l’attache à l’intégration de la fonction pu. sans 
en constituer le résultat direct. Les valeurs de l’argument (multiples 
de la période réelle) qui rendent infinie la fonction p s’opposent en effet 
à son intégration directe. Après avoir défini la fonction ^ pour un argu- 
ment réel. M. Halphen, par la même méthode que pour la fonction p. 
étend sa définition au cas des arguments, d’abord purement imaginaires, 
puis complexes quelconques. L’auteur développe ensuite, toujours 
avec la même rigueur serrée, et sans omettre le moindre détail, la théo- 
rie de cette fonction £ et de deux autres fonctions, appelées <!> et l J', 
qui en dérivent et servent d’échelons pour atteindre une dernière fonc- 
tion. dite c. qui prend son origine dans l’intégration de S, et dans 
laquelle se résume toute la théorie. Les propriétés de cette importante 
fonction t occupent tout le chapitre vi. 
Le chapitre vu, intitulé : Décompositions en éléments simples et en 
facteurs , s’ouvre par un préambule que nous reproduirons ici. car il 
en indique admirablement la portée : 
« On a vu, dans le chapitre précédent, la théorie des fonctions 
elliptiques s’élargir tout à coup et se simplifier singulièrement : c’est 
l’intervention delà fonction eu, qui produit ce changement soudain. 
En un petit nombre de propriétés simples et frappantes et une seule 
formule (VI, 12), toute la théorie se résume. Le chapitre actuel 
mettra mieux encore en évidence la force de ces éléments fondamen- 
(1) La fonction est caractérisée par ce fait qu’elle a pour racines les 
nièmes parties de périodes. 
