BIBLIOGRAPHIE. 
611 
taux. On y verra, pour toutes les formules, leur raison d’être; on y 
apprendra en quelques pages, ce qu’il importe le plus de bien savoir 
pour faire facilement les applications. » 
Ces quelques lignes disentassez l’importance du chapitre. Nous n’y 
insisterons pas davantage. 
Les sept premiers chapitres donnent une idée complète de la théorie 
proprement dite des fonctions elliptiques. A la rigueur, l’étude de 
celles-ci pourrait se borner là. Là du moins se termine ce qu’il est 
essentiel d’en savoir pour en comprendre et en faire des applications. 
Mais M. Halphen entend donner, au public qui étudie, un traité com- 
plet sur la matière ; aussi développe-t-il, dans la seconde moiLié du 
volume, des sujets qui, pour n’être pas d’une utilité aussi immédiate 
au point de vue des applications, n’en ont pas moins une haute impor- 
tance aux yeux des mathématiciens. 
Dans le chapitre vin, l’auteur fait connaître la représentation des 
fonctions elliptiques par les belles séries S de Jacobi. qu’il rattache à 
la fonction o précédemment étudiée. La façon dont il introduit ces 
séries .3- doit être spécialement remarquée. 11 construit de toutes pièces 
une série jouissant des propriétés fondamentales de la fonction a pour 
démontrer ensuite sa parfaite identité avec celle-ci. La considération 
des séries 3 entraîne la généralisation des fonctions elliptiques pour 
des invariants imaginaires. 
Le chapitre ix qui, selon la propre remarque de l’auteur, offre le 
plus grand intérêt au point de vue de l’analyse, tout en étant de peu 
d’usage pour les applications, traite de la théorie des dérivées de la 
fonction p et de toutes celles qui s’y rattachent par rapport aux inva- 
riants et aux périodes. 
Dans le chapitre x, M. Halphen fait connaître la théorie de l’équa- 
tion hypergéométrique pour en tirer le développement des périodes en 
séries hypergéométriques. Il fait voir que les vingt-quatre solutions, 
sous forme de séries, de cette remarquable équation, ne constituent, 
en fait, que six fonctions différentes, et il donne le développement des 
périodes en fonction de l’invariant absolu, sous forme de séries hyper- 
géométriques. 
M. Halphen revient ensuite aux divers modes de développement des 
fonctions elliptiques mêmes. 
Dans le chapitre xi, il envisage leur développement en séries à 
double indice. Pour la fonction p ce développement prend naissance 
dans la formule de décomposition de p (nu) en fractions simples par 
rapport à pu. Pour démontrer rigoureusement la convergence du déve- 
