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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
loppement obtenu. M. Halphen fait une petite digression sur les séries 
à double indice, en général. Il prouve ensuite que la série converge 
précisément vers pu. preuve qu’il était essentiel de faire. Les anciens 
géomètres, en effet, se contentaient, en prolongeant indéfiniment un 
développement obtenu d’abord sous forme finie, de s’assurer de la con- 
vergence de la série obtenue. Les géomètres modernes, et M. Halphen 
au premier rang, ont fait voir que cela ne suffisait pas et qu’il fallait 
démontrer que la somme de la série était bien la fonction soumise à la 
formule de développement (1 J. L’auteur montre ensuite comment le 
développement de pu en série à double indice met en évidence les 
propriétés essentielles de la fonction p, notamment la double périodi- 
cité. Chemin faisant, il rencontre une belle proposition d’algèbre 
(p. 306). Il donne aussi les développements des diverses fonctions 
remarquables qui se rattachent à pu. Enfin, il généralise de nouveau, 
en partant de ces séries, la notion des fonctions elliptiques, en rempla- 
çant les deux périodes par deux quantités arbitraires dont le rapport 
est imaginaire. 
Dans le chapitre xu, les fonctions g sont développées en produits 
simples, les fonctions ? etp en séries simples. Ce mode de développe- 
ment en produits simples conduit à une nouvelle manière d’envisager 
les séries 3. 
Enfin, le chapitre xu est consacré aux développements en séries 
trigonométriques. M. Halphen commence par faire connaître divers 
modes fort intéressants de développement des fonctions doublement 
périodiques de seconde espèce, pour en déduire le développement des 
fonctions elliptiques £, p. ainsi que celui des logarithmes, des 
rapports deux à deux, des inverses des fonctions g-, etc On trou- 
vera dans ce chapitre une observation fort curieuse et fort importante 
sur la manière d'accroître la rapidité de la convergence du développe- 
ment des fonctions de seconde espèce. 
Ayant épuisé ce qui a trait au développement, en séries de diverses 
sortes, des fonctions elliptiques, M. Halphen clôt son premier volume 
par un chapitre intitulé : Applications de la théorie générale des fonc- 
tions à celle des fonctions elliptiques. Voici ce que dit l’auteur au début 
de ce chapitre. 
« Dans les chapitres précédents, on a fait un usage exclusif des 
(1) Nous avons déjà eu l’occasion d’insister ici même sur ce point impor- 
tant (Rev. des quest. scient., janvier 1886, p. 234). 
