BIBLIOGRAPHIE. 
G13 
théories les plus élémentaires, ou, pour mieux dire, des théories an- 
ciennes de l’analyse. Nous allons montrer maintenant les applications 
simples et élégantes par lesquelles la théorie générale des fonctions, 
envisagée dans ses premiers éléments, jette un jour nouveau sur les 
fonctions elliptiques. 
« Nous allons d'abord étudier les fonctions doublement périodi- 
ques, en général, et reconnaître qu’il n’en existe point d’autres que 
les fonctions elliptiques. Nous exposerons ensuite une théorie, toute 
nouvelle, de décomposition en éléments simples, due à M. Appell. » 
M. Halphen développe ce programme avec le talent qui éclateà toutes 
les pages de son livre. 
Telle est, grossièrement résumée dans l’exposé fort imparfait qu’on 
vient de lire, la matière traitée dans le tome I. Elle comprend la 
Théorie des fonctions elliptiques, à l’exclusion toutefois de la transfor- 
mation que l’auteur, soucieux de graduer l’instruction de son lecteur, 
a réservée pour le troisième volume, comme étant ce qu’il y a de plus 
abstrait dans son sujet. 
Ce premier volume suffit à lui seul, comme nous le disions en com- 
mençant. pour renouveler de fond en comble l’enseignement des fonc- 
tions elliptiques. Désormais, le classique Traité de Briotet Bouquet, à 
peu près seul suivi en France jusqu’à ce jour, n’a plus qu’un intérêt 
purement historique. Mais ce n’est pas en cela seulement que M. Hal- 
phen va innover avec l’œuvre actuelle. Il se propose, en effet, dans les 
volumes subséquents de développer les principales applications des 
fonctions elliptiques à toutes les branches de la science qui se prêtent 
à leur emploi : l’algèbre, la théorie des nombres, le calcul intégral, la 
géométrie, la mécanique, la physique. Il est inutile d’insister sur les 
surprises que nous réserve, sous la plume de M. Halphen, la réalisa- 
tion d’un tel programme. Le public mathématique en a déjà eu un 
avant-goût dans le beau mémoire de l’auteur sur une courbe élas- 
tique (1). 
En somme, par l’étendue de son sujet, la perfection de sa méthode, 
la profondeur des idées théoriques émises, l’imporlance et la variété 
des applications, le livre de M. Halphen a tous les caractères d’un 
véritable chef-d’œuvre, et c’est comme tel, que nous sommes fier, à son 
aurore, de le saluer ici. 
Maurice d’Ocagne. 
(1) Journal de l École polytechnique, LIY e cahier, p. 183. 
