BIBLIOGRAPHIE. 
2ÔI 
de même dans le troisième cas, si l’on pouvait faire mouvoir les 
figures considérées dans un espace à quatre dimensions. 
2. Géométrie sphérique. Un cercle sur une sphère a deux pôles 
ou centres sur cette sphère, les distances y étant comptées sui- 
des arcs de grand cercle. 
3. Généralisation de Vidée de courbure. Courbure d’un arc, 
d’une surface ; sa mesure sans sortir de la surface ; conséquence 
pour la mesure d’une géodésique. 
II. Géométrie euclidienne à quatre dimensions. 
1. Livre V de la géométrie à quatre dimensions. Deux figures 
symétriques de l’espace à trois dimensions sont superposables si 
on les retourne dans l'espace à quatre dimensions. 
2. Sphère à trois dimensions. Dans une sphère à trois dimen- 
sions, une grande sphère à deux dimensions a deux centres et 
est retournable par rotation autour d’un de ses grands cercles. 
Ces sphères à trois et à deux dimensions sont identiques à 
l’espace riemannien et au plan riemannien, et le grand cercle 
est identique à la droite riemannienne. Lorsque l’on se place 
ainsi dans l’espace euclidien à quatre dimensions, 011 peut com- 
parer les constantes caractéristiques des divers espaces rieman- 
niens au point de vue de leur grandeur. 
III. Géométrie des espaces à courbure constante négative. 
L’auteur, n’admettant pas l’existence de surfaces euclidiennes à 
courbure constante négative complètement analogues au plan 
lobatchefskien, étudie ici ce plan et l’espace lobatchefskien à 
trois ou à quatre dimensions. Il explique un paradoxe relatif à la 
longueur d'un horicycle comparée à celle de sa corde, expose et 
réfute la fausse démonstration de Carton du postulatum d’Eu- 
clide. D’après M. Lechalas, les horisphères et les horicycles sont 
identiques au plan euclidien et à la droite euclidienne si on les 
étudie dans un espace lobatchefskien à quatre dimensions. Mais 
les pseudosphères ne sont pas identiques au plan lobatchefskien, 
parce que leurs géodésiques ont d’autres propriétés que les 
droites lobatchefskiennes. — En revanche, à la rigueur, dans des 
espaces appropriés, un plan euclidien et un cylindre parabolique 
sont indiscernables. 
Tel est, en substance, le savant plaidoyer de M. Lechalas en 
faveur des idées qu’il défend depuis longtemps sur la géométrie 
générale. 
M. Lechalas indique avec précision dans son livre les points où 
nous sommes et ceux où nous 11 e sommes pas d’accord avec lui 
et il résume très bien nos raisons (pp. 34 et 36). Nous croyons 
