LES SYSTEMES STELLAIRES. 
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l'existence d’une force centrale ; elle est absolument muette 
sur la loi qui règle , à chaque instant, l'intensité de cette 
force. 
Mais la trajectoire nous est connue : nous savons que 
c’est une ellipse. Cette donnée n’achève-t-elle pas de déter- 
miner la force ? — Nullement ; dans ce cas le problème 
admet encore un nombre indéfini de solutions ; pour en 
dégager une nettement déterminée, il faut fixer le choix 
du centre de force. Donnons des exemples. 
Un point P décrit une ellipse sous l’action d’une force 
centrale dirigée constamment vers le centre C de l'orbite. 
L’intensité de cette force centrale est, à chaque instant, 
proportionnelle à la distance CP. 
Un autre point P décrit aussi une ellipse, mais ici la 
force centrale passe constamment par un des foyers F de 
l'orbite. L’intensité de cette force centrale est, à chaque 
droite, OA : c’est le rayon vecteur. Pendant les unités de temps successives 
le rayon vecteur décrit les aires AOB, BOC, COI)... Ce sont celles de 
triangles de bases égales, AB = BC = CD = ..., et de même hauteur, la per- 
pendiculaire abaissée du point 0 sur la trajectoire : elles sont donc égales , 
et la loi des aires est vérifiée, dans ce mouvement, par rapport à un centre 
O quelconque. 
Supposons qu’au moment où le mobile arrive en C, une impulsion dirigée 
vers le centre O lui communique une vitesse V de grandeur quelconque : 
représentons-Ia en grandeur et en direction par le segment CE. Le mobile 
obéissant à la fois à la loi de son mouvement primitif et à l’impulsion reçue, 
quitte sa trajectoire XX' pour s'engager sur la diagonale CD' An parallélo- 
gramme construit sur les vitesses représentées par les segments CD et CE ; 
il parcourt cette diagonale d’un mouvement uniforme et se trouve, une 
seconde plus tard, au quatrième sommet D' de ce parallélogramme. L’aire 
décrite par le rayon vecteur , pendant cette partie du mouvement, est 
celle du triangle COD' qui a même base OC et même hauteur, la perpendi- 
culaire commune aux deux parallèles CO et DD', que le triangle OCD : la loi 
des aires s’applique donc au mouvement transformé ABCD', quelle que soit 
la grandeur de la vitesse d’impulsion V, à la seule condition — nécessaire, 
on le constate aisément — qu'elle soit dirigée vers le centre 0. 
Fractionnons l’unité de temps h l’infini ; multiplions les impulsions centri- 
pètes : qu’elles deviennent continues. Chargeons alors une force centrale 
du soin de les entretenir, et au bout de nos calculs nous trouverons cette 
conclusion : Pour qu’un point mobile qui décrit une trajectoire plane obéisse 
à la loi des aires, il faut et il suffit qu’il soit soumis à l’action d’une force 
centrale , en appelant ainsi toute force dont la direction passe constamment 
par un même point. 
