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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
certain intervalle représente une fonction continue dans le même 
intervalle. 
C’est dans le Chapitre IV que se trouve la partie culminante, 
en quelque sorte, du sujet, celle qui se rapporte à la représen- 
tation des fonctions continues quelconques au moyen de séries de 
polynômes, représentation dont la possibilité reconnue pour la 
première fois par Weierstrass constitue un de ses plus beaux 
théorèmes. Après avoir rappelé la démonstration de l’illustre 
analyste, l’auteur, vu l'importance primordiale de la question, 
en indique plusieurs autres comme celles de M Picard (pour 
laquelle il renvoie au Truité cl' Analyse du savant géomètre) et 
de M. Volterra. 11 développe également les méthodes, affranchies 
du caractère transcendant des précédentes, qui sont dues à 
MM. Lebesgue et Mittag-Leffler et que l’on peut rattacher à un 
important Mémoire de M Runge. 11 se trouve ainsi amené aux 
méthodes d’interpolation et, après avoir remarqué, comme 
M. Runge l’avait fait de son côté, que la formule de Lagrange ne 
donne pas toujours une approximation croissante avec le 
degré du polynôme employé, il expose le principe de la belle 
méthode de Tchebichef permettant de trouver le polynôme qui, 
dans un certain intervalle, donne une plus grande approxima- 
tion que tous les polynômes de même degré. 
L’extension aux fonctions discontinues fait l’objet duChapitre V. 
L’auteur se borne d’ailleurs à esquisser la solution complète du 
problème qui est due, comme on sait, à M. Baire et que celui-ci 
a développée dans le volume de la collection signalé ci-dessous. 
Une remarquable démonstration du théorème général de 
M. Baire, due à M. Lebesgue, fait d’ailleurs l’objet d’une note 
spéciale insérée en annexe par AL Borel à la suite d’une autre 
note, rédigée par AL Painlevé, dans laquelle cet éminent géo- 
mètre donne les démonstrations des- résultats si remarqués qu’il 
a, en ces derniers temps, fait connaître dans les Comptes rendus 
de l'Académie des Sciences de Paris relativement au dévelop- 
pement des fonctions analytiques, et pour lesquels il a su si 
habilement utiliser les belles recherches de AL Mittag-Leffler. 
Le but poursuivi par AI. Baire dans le volume qu'il a signé 
pour la collection Borel, est l'étude approfondie des fonctions 
discontinues représentables par des séries de fonctions conti- 
nues. 11 a pu, lui aussi, mettre son exposé au point grâce à l’en- 
seignement oral qu’il lui a été permis de donner au Collège de 
France dans la chaire fondée par le legs Peccot ; et il a égale- 
