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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
publications, par M. G. Cantor, le créateur de la doctrine, l’auteur 
l’a modifiée pour n’en conserver que ce qui est utile à l’objet 
qu’il a en vue ; il a su, en outre, l’éclaircir par un heureux choix 
d’exemples concrets. 
Dans le Chapitre III, il applique les notions ainsi acquises aux 
ensembles de points. Il s’étend notamment sur les ensembles 
parfaits non denses et fait une étude générale des ensembles 
fermés. 
Ainsi armé, l’auteur s’attaque au problème capital qu’il a en 
vue, les résultats obtenus sur les ensembles de points lui per* 
mettant d’étudier le rôle que joue la distribution des points de 
discontinuité dans les propriétés des fonctions. C’est, dans le 
Chapitre IV, par les fonctions d’une variable qu’il débute. Après 
avoir introduit des notions nouvelles indispensables, relatives à 
la continuité et à la discontinuité des fonctions les plus générales, 
il établit en toute rigueur la condition nécessaire pour qu’une 
fonction soit limite de fonctions continues et donne ensuite une 
extension aux théories précédentes en étendant les notions 
définies en partant du continu au cas où l’on prend pour base de 
raisonnement un ensemble parfait quelconque. 
La recherche des conditions suffisantes pour qu’une fonction 
soit limite de fonctions continues est particulièrement ardue, et, 
afin de graduer la difficulté, l’auteur traite d’abord le cas d’une 
fonction définie sur le segment (0,1) et partout égale soit à 0, 
soit à 1. 
Le problème général est renvoyé au Chapitre V où, pour abor- 
der les fonctions d en variables, l’auteur doit avant tout reprendre 
les questions précédemment étudiées dans le cas des ensembles 
linéaires, en se plaçant cette fois dans le cas des ensembles de 
points d’un espace à n dimensions. Il parvient ainsi aux condi- 
tions nécessaires d’abord, suffisantes ensuite, les plus générales 
pour qu’une fonction discontinue soit limite de fonctions conti- 
nues. N’ayant d’ailleurs, pour écarter certaines difficultés d’ordre 
secondaire, envisagé seulement jusque-là que des fonctions 
bornées, il lève enfin cette dernière restriction pour donner toute 
leur portée aux très beaux résultats qu’il a obtenus. Il termine 
en signalant quelques cas particuliers des fonctions mises ainsi 
en évidence, celui notamment des fonctions semi-continues, et 
en indiquant le principe de la classification qu’il a proposée poul- 
ies fonctions suivant la nature de leurs discontinuités, classifi- 
cation dans laquelle les fonctions continues constituent la classe 
0, et les fonctions étudiées dans le présent volume la classe 1, 
