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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
rents ne peuvent entrer en relation que dans un espace d’ordre 
supérieur où ils soient contenus; d’où il suit qu’une géométrie 
à trois dimensions vraiment générale ne peut se passer d’une 
géométrie à quatre dimensions. M. Jouffret nous donne aujour- 
d’hui un traité élémentaire de géométrie euclidienne à quatre 
dimensions : c’est l’une des étapes indispensables dans la géné- 
ralisation de la géométrie. 
Disons d’abord quelques mots de la terminologie adoptée. 
Conservant au terme “ espace „ son acception ordinaire, 
l’auteur désigne par le mot “ étendue „ ce que nous appellerions 
plus volontiers un espace à quatre dimensions. M. Jouffret a du 
reste une expression pour correspondre à ce sens général du mot 
“ espace et cette expression est “ champ „. Ajoutons que, 
conformément à un usage répandu parmi les hypergéomètres, il 
désigne les diverses coordonnées d’un point par une même lettre 
affectée d’indices qui les distinguent lês unes des autres et per- 
mettent de reconnaître les coordonnées correspondantes de 
points différents. 
Nous devons enfin signaler une expression qui crée une 
amphibologie regrettable : pour M. Jouffret, une “ hypersphère „ 
est une sphère de l’espace à quatre dimensions, c’est-à-dire le 
lieu des points qui y sont également distants d'un même point. 
Or, en géométrie lobatchewskienne, il y a aussi des hyper- 
sphères, mais qui sont tout autre chose : ce sont les surfaces 
à courbure négative qui séparent du plan l’horisphère ou sphère 
de rayon infini. 11 nous semble bien que la préférence doive 
être accordée à ces surfaces dans l’attribution du nom d'hyper- 
sphères, car elles ont absolument besoin d’un nom spécial, 
tandis que les sphères des divers ordres peuvent fort bien être 
désignées par ce terme unique accompagné du numéro de leur 
ordre : il y aurait même quelque puérilité à chercher un mot 
nouveau chaque fois que l’on ajouterait une dimension. 
Tâchons de donner rapidement quelques notions se rattachant 
au 5 e livre, sans nous astreindre d’ailleurs à un ordre rigoureux. 
Par un point donné, on peut mener autant de droites perpen- 
diculaires entre elles que l’espace a de dimensions : nous avons 
donc ici quatre perpendiculaires, x It a? 2 , x 3 , x r Groupées trois à 
trois, elles engendrent quatre espaces à trois dimensions, et 
l’on obtient six plans en les groupant deux à deux. Deux quel- 
conques des espaces se coupent suivant le plan défini par les 
deux indices communs ; mais, pour les intersections de plans, une 
distinction est nécessaire, car ils ont ou non un indice commun. 
