BIBLIOGRAPHIE. 
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Dans le cas de l'affirmative, les deux plans appartiennent à un 
même espace et se coupent suivant la droite définie par l’indice 
commun ; si tous les indices sont différents, les deux plans 
n’appartiennent pas à un même espace et n’ont qu’un point 
commun ( 1 ). 
L’une quelconque de nos quatre droites est perpendiculaire à 
toute droite et à tout plan menés dans l’espace des trois autres 
par leur point commun : elle est perpendiculaire à cet espace. 
Les six plans sont tous perpendiculaires entre eux deux à 
deux, mais dans des conditions bien différentes ; ceux qui se 
coupent suivant une droite le sont dans les conditions connues 
de la géométrie à trois dimensions : il y a dans chacun d’eux 
une direction unique qui est perpendiculaire à toutes les droites 
de l’autre, tandis qu’une droite quelconque d’un des plans est 
perpendiculaire à une droite quelconque du plan correspondant 
aux deux autres indices. Dans le premier cas, il y a perpen- 
dicularité simple ou incomplète, tandis que la perpendicularité 
est absolue ou complète dans le second. 
Il ne faudrait pas croire, d’après cela, que la perpendicularité 
soit toujours complète lorsqu’elle correspond au cas général 
d’un point d’intersection unique. Partant en effet des plans x 2 
et x 2 x 3 , nous pouvons prendre un plan parallèle à ce dernier, 
mais dans l’espace x 2 x 3 x 4 ; ce nouveau plan ne sera pas dans 
un même espace avec le plan x x x 2 , mais en même temps il ne 
lui sera qu’incomplètement perpendiculaire. Il en est ainsi toutes 
les fois que les droites à l’infini de deux plans se rencontrent. 
Le parallélisme de deux plans est de même complet ou in- 
complet. Le premier cas correspond à celui des deux plans situés 
dans un même espace et dont la droite d’intersection est rejetée 
à l’infini ; le second cas est celui de deux plans ayant un point 
unique d’intersection à l’infini. Lorsque le parallélisme est 
complet, toutes les droites de chaque plan sont parallèles à 
l’autre; s’il est incomplet, par chaque point d’un plan il 11e passe 
qu’une seule droite qui soit parallèle à l'autre. 
Nous nous bornerons à signaler l’étude très complète des 
polyédroïdes réguliers, que forment des polyèdres réguliers : 
ceux-ci sont les cases du polyédroïde comme les polygones sont 
(1) On remarquera que, dans ce cas, les projections d’un point sur les 
deux plans le définissent complètement, en sorte que la géométrie 
descriptive à quatre dimensions se contente de deux projections con- 
venablement choisies. 
