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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
les faces d’un polyèdre. Disons seulement qu’il y a six poly- 
édroïdes réguliers. Une chose digne de remarque est que, dans 
les espaces à plus de quatre dimensions, les polyédroïdes 
réguliers sont uniformément au nombre de trois seulement, cor- 
respondant au tétraèdre, au cube et à l’octaèdre. 
M. Jouffret donne une étude sommaire de la sphère à trois 
dimensions ou hypersphère, lieu des points également distants 
d’un même point dans un espace à quatre dimensions. Nous 
croyons pouvoir exprimer le regret qu’il n’ait pas cru devoir 
pousser plus loin cette étude, car il eût été fort intéressant d’y 
trouver les propriétés dont jouit la sphère au sein de l’hyper- 
splière, notamment quand elle a même rayon que celle-ci. On sait 
qu’on retrouve ainsi la géométrie de Riemann, quelque conclu- 
sion qu’on doive tirer de ce fait. 
Nous appellerons l’attention sur la mesure du contenu d’une 
sphère dans un espace de degré quelconque. La série de ces 
mesures présente la particularité de se dédoubler en deux séries, 
correspondant aux valeurs paires et impaires de n\ quand on 
passe d’une valeur paire à une valeur impaire, l’exposant de 7r 
ne change pas, mais il augmente d'une unité en passant d’une 
valeur impaire à une valeur paire (1). Les deux formules 
générales sont : dans l’espace de degré 2 n 
7r r 2 T: r 2 7i r 2 7 r r 2 ■ 
1 ‘ ~ 2 ~ ’ “ 3 “ h 
dans l’espace de degré 2 n — 1 
2 t. r 1 7i r 2 7T r 2 
7 t r 1 3 2 n — 1 
(I) Ce fait tient à la présence, dans la différentielle, du facteur 
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cos'6 c?9. Or on sait que, si l’on pose in = 1 ' cos''6 âB, la formule 
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de Wallis donne n in = (« — 1) in- 1. Comme iz = ^ et ù — 1, la loi 
signalée apparaît immédiatement. 
Nous devons mentionner une erreur au sujet de la mesure du conte- 
nant et du contenu de la sphère de l'espace à n dimensions dans 
l’ouvrage sur l ’ Hyperespace de M. Boucher : calculant la valeur du con- 
tenant de la sphère de l’espace à quatre dimensions, il a fait comme si, 
pour calculer la surface de la sphère ordinaire, on multipliait la circon- 
férence d'une section plane par ds au lieu de la multiplier par 
\ d x 2 -j- d s 2 . Il en résulte que n reste toujours à la première puissance. 
