VARIÉTÉS 
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M. Poincaré termine cet exposé critique par des considéra- 
tions générales sur l’état actuel de la théorie, qui l’amènent à 
préciser dans quel sens il y aurait à travailler pour l’améliorer, 
indication bien précieuse pour les chercheurs que tente le sujet. 
La quatrième Partie, qui traite des marées fluviales, ne com- 
prend qu’un seul chapitre. Si le frottement peut être négligé 
dans les bassins océaniques et les canaux profonds, il n’en est 
plus de même dans les rivières. De plus, la surélévation produite 
par la marée est alors de même ordre que la profondeur elle- 
même, et les équations du problème ne sont plus linéaires. 
Même dans le cas théorique d’un fleuve rectiligne, de largeur, 
profondeur et pente constantes, il faut avoir recours à plusieurs 
approximations. D’abord, si on néglige le frottement et les car- 
rés des inconnues, on retombe naturellement sur l’équation des 
cordes vibrantes : d’où, l’existence de deux ondes progressives, 
l’une et l’autre entraînées par le courant ; mais la nature des 
choses impose la suppression de l’onde se propageant vers 
l’aval ; c’est qu’aussi bien, comme le fait voir M. Poincaré, il est 
impossible de s’en tenir à cette première approximation dont 
les résultats sont en désaccord avec l’observation sur deux points 
essentiels : égalité des temps de montée et de descente de la 
marée ; coïncidence des maxima et minima du courant avec 
ceux de la marée. 
En seconde approximation, le frottement étant encore négligé, 
mais les carrés des inconnues retenus, on est conduit à un sys- 
tème de deux équations aux dérivées partielles. La solution 
donnée dans l’ouvrage est celle de Saint-Venant ; elle explique 
la vilesse supérieure de propagation de la pleine mer, mais non 
le décalage entre la marée et le courant. M. Poincaré en déduit 
également l’explication de la formation des ondes composées, et, 
surtout, l’explication du mascaret. Rien, sans doute, n’avait été 
jusqu’ici dit de plus substantiel sur ce sujet, du moins au point 
de vue théorique. 11 convient, au reste, de signaler à ce propos 
la conception originale qui fait dépendre toutes les circonstances 
du phénomène de la considération d’une certaine surface réglée 
à plan directeur ; c’est là un exemple de figuration géométrique 
d’une rare élégance. 
Pour ce qui est de l’influence du frottement, l’auteur se borne 
à l’envisager dans le cas le plus simple ; cela lui suffit, d’ailleurs, 
pour expliquer, à l’aide de cette cause, l’affaiblissement de 
l’onde et le décalage. 
