REVUE DES RECUEILS PERIODIQUES 
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nous regardons ses démonstrations comme peu rigoureuses. Or 
voilà cependant l’écueil contre lequel, d’après M. Zeuthen, serait 
venu échouer M. Vogt. 
« Pour tirer les justes conclusions du témoignage de Platon, 
dit-il, il faut examiner avec soin quelle portée peuvent avoir 
eue les progrès dont il parle. Or cette recherche est possible, 
car nous connaissons la théorie de l’irrationalité des racines à 
laquelle Théétète a apporté les derniers perfectionnements. Ce 
doit être celle des Éléments d’Euclide, abstraction faite des con- 
tinuations et adaptations dues à l’auteur de ce livre fameux. 
Nous devons retrouver la théorie de Théétète parmi les pierres 
dont le bâtiment d’Euclide est composé. » 
Un examen approfondi d’Euclide est en effet ce qui manque le 
plus dans le beau mémoire de M. Vogt. M. Zeuthen le prend à 
son compte, avec cet incomparable talent de géomètre et cette 
critique judicieuse auxquels il nous a habitués. Impossible de 
suivre en détail sa discussion du plan des livres arithmétiques 
d’Euclide. Admettant, comme un principe, que les Éléments sont 
ti'op parfaits, non seulement pour manquer de logique, mais 
même pour contenir des théories répétées sans raison : « On 
doit s’ètre occupé de l’irrationalité des racines, conclut-il, bien 
avant que Théodore reconnût la nécessité de l’assurer par des 
démonstrations plus rigoureuses que celles qui se présentèrent 
immédiatement à l’esprit de celui qui le premier reconnut l’irra- 
tionalité de \ 3; bien avant que Théétète ait donné à l'irrationa- 
lité un fondement aussi général que sûr. 
» Ces considérations m’inspirent sur la connaissance antérieure 
des quantités irrationnelles des opinions tout à fait opposées 
aux conclusions du mémoire de M. Vogt. Longtemps avant 
Théodore on a dû s’occuper de la rationalité, non seulement de 
\J% mais encore d’autres racines carrées, et probablement aussi 
de racines supérieures des nombres entiers et des fractions. » 
Voilà une affirmation que le professeur de Breslau regarderait 
probablement comme gratuite ; car il observe expressément que 
les démonstrations historiques et positives nous manquent pour 
d’autres quantités que y2- 
D’accord, lui répond M. Zeuthen qui prévoit l’objection. Mais 
ce que, d’après lui, on saurait encore beaucoup moins admettre 
sans document historique et positif, c’est l’existence d’une discon- 
tinuité invraisemblable dans le développement de la science. Or, 
il faudrait passer par là, si après la découverte de l’irrationalité 
de y2, les géomètres grecs n’avaient pas même pensé à celle des 
