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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES 
développe une étude approfondie. Le théorème fondamental est 
ici que le nombre des intégrales distinctes de seconde espèce est 
limité. Ce nombre, .que M. Picard désigne d’abord par p, et qui 
est un invariant absolu de la surface, est ce qu’il appelle plus 
loin p 0 , le nombre p s’appliquant à un autre nombre, détail 
à noter pour prévenir toute espèce de confusion. 
La détermination fort importante du nombre des conditions 
pour qu’une intégrale double, de forme convenable, soit de 
seconde espèce (nombre égal au double du genre d’une section 
plane quelconque de la surface) fait l’objet d’un paragraphe 
spécial où M. Picard donne trois manières absolument distinctes 
de l’obtenir. 
On ne peut manquer non plus d’ètre frappé de l’élégance avec 
laquelle il traite le problème algébrique consistant à trouver les 
caractères d’une intégrale double de fonction rationnelle dont 
tous les résidus sont nuis. 
Au Chapitre IX, ou revient aux intégrales de différentielles 
totales, mais celte fois à celles de troisième espèce (c’est-à-dire 
ayant des courbes logarithmiques) au sujet desquelles M. Picard 
démontre un théorème tout à fait fondamental sur les courbes 
algébriques irréductibles particulières, où apparaît le nouveau 
nombre p dont nous venons de parler. 
Le Chapitre X a pour but d’amorcer l’étude particulièrement 
ardue des relations entre la théorie des intégrales doubles de 
seconde espèce et celle des intégrales de différentielles totales. 
Elle exige d’ailleurs un éclaircissement complet de la très impor- 
tante question de la périodicité des intégrales doubles, (pii fait 
l’objet du Chapitre XL Cette étude est d’ailleurs autrement diffi- 
cile (pie celle (pii s’offre dans le cas riemannien, attendu que les 
considérations d 'analysis situs qui y interviennent font appel à 
l’emploi de conlinuums fermés à deux dimensions dans un espace 
à quatre dimensions. Mais l’habileté géniale de M. Picard 
triomphe de tous les obstacles. Afin même de rendre les résultats 
plus frappants, il recourt à des figurations qui sont du plus 
grand secours pour le lecteur. 
La démonstration du fait que les périodes, dont il a obtenu le 
nombre, sont bien distinctes peut être citée comme l’exemple 
d’une des plus grosses difficultés vaincues. 
M. Picard aboutit enfin à la relation fondamentale entre le 
nombre des périodes des intégrales doubles de seconde espèce 
et le nombre p 0 (p de la première partie de l’ouvrage) des inté- 
grales doubles distinctes de seconde espèce, en supposant toute- 
fois la connexion linéaire de la surface égale à l’unité. 
