BIBLIOGRAPHIE 
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sentir avec quel soin il traite des questions délicates comme 
celle, par exemple, de l’extension de la notion d’intégrale définie 
dans le cas où les limites deviennent infinies. Mais c’est particu- 
lièrement à propos de la théorie des différentielles d’ordre 
supérieur, dont les difficultés sont plus sérieuses que ne le 
laissent soupçonner la plupart des cours, que s’affirme l’origi- 
nalité de son exposé. Il fait apparaître la définition de la 
différentielle du second ordre comme le résultat d’une double 
convention. La différentielle première df étant définie par 
l’égalité 
df = f x dx ! y dij -f- f z dz, 
il en résulte que df est fonction des variables x, y, z, dx, dy, dz. 
Voici, dès lors, comment l’auteur définit la différentielle 
seconde : 
1° Il attribue à dx, dy, dz des valeurs fixes de façon que df ne 
soit plus fonction que de#, y, z. 
2° Dans la fonction de x, y, z ainsi obtenue, il donne à x, y, z 
des accroissements respectivement égaux aux valeurs fixes 
choisies dans la première convention. Alors, la fonction df a 
une différentielle déterminée qui, par définition, sera fodifféren- 
tielle seconde de f. 
Un procédé analogue permet de passer de la différentielle 
d’ordre n à celle d’ordre n-\-\. 
Le Chapitre 111 est réservé aux applications et extensions de la 
notion d’intégrale : longueurs, aires, volumes, etc. Avec juste 
raison, l’auteur a cru indispensable de donner de ces notions 
une définition précise « qui ne fasse intervenir aucun élément 
de calcul étranger aux données géométriques ». 11 y est parvenu 
en les réduisant à des nombres définis par des coupures. 
Dans l’étude très détaillée qu’il développe du changement de 
variables dans les intégrales multiples, il évite de recourir à des 
artifices, ayant jugé préférable d’approfondir la correspondance 
établie entre les deux systèmes de variables. Il débute, 
d’ailleurs, par l’examen du cas où le changement est linéaire, 
ce qui explique la présence du déterminant fonctionnel. 
D’une manière générale, on peut dire que M. Baire s’attache 
moins au côté formel des mathématiques qu’à leur essence 
profonde; c’est au cœur même des théories qu’il fait pénétrer le 
lecteur. 
