REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES 
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Il annonce, pour le tome II, la théorie des fonctions analy- 
tiques, les équations différentielles, les applications géométri- 
ques et la théorie des fonctions elliptiques. 
L’exécution matérielle du livre est parfaite, ainsi qu’il est de 
règle dans la maison Gauthier-Yillars. 
M. 0. 
III 
Leçons sur les séries trigonométriques, par IL Lebesgue, 
maître de conférences à la Faculté des sciences de Hernies 
(Collection de monographies sur la théorie des fonctions). 
Lu volume in -8" de 1:28 pages. — Paris, Gauthier-Yillars, 1909. 
Après les séries procédant suivant les puissances entières de 
la variable, les séries trigonométriques sont sans doute les plus 
importantes à considérer, surtout quand on se place au point de 
vue des applications physiques de l’analyse; mais leur étude est 
singulièrement délicate. Il était certainement fort utile de faire 
entrer dans le cadre d’un exposé didactique bien des choses 
nouvelles dont s’est enrichie leur théorie mais qui n’étaient pas 
encore sorties des mémoires originaux; une telle mise au 
point se trouve effectuée — et, peut-on dire, de main d’ouvrier — 
dans l’ouvrage de M. Lebesgue, reproduction de leçons faites au 
Collège de France pendant l’hiver 1904-1905. 
Dans une courte introduction, l’auteur commence par rap- 
peler un certain nombre de définitions et d’énoncés relatifs aux 
fonctions en général, dont la connaissance est nécessaire à la 
claire compréhension du reste. Cet exposé succinct, soulagé de 
tous les détails que requiert la rigueur des démonstrations, est 
remarquablement facile à consulter. 
Le chapitre 1 est constitué par la partie classique du sujet, 
allant des premiers essais d'Fuler à la méthode de Fourier pour 
la détermination des coefficients des séries trigonométriques 
représentant une fonction donnée; ces méthodes, toutes discu- 
tables au point de vue de la rigueur, sont historiquement d’un 
haut intérêt. Au chapitre II, après l’indication de divers artifices 
pour la sommation de séries trigonométriques, l’auteur aborde 
l’étude élémentaire de la convergence qui, prenant comme base 
la comparaison des séries de Fourier aux séries absolument 
