BIBLIOGRAPHIE 
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convergentes, offre le défaut, grave pour les applications, de 
négliger l’influence de l’ordre des termes. Cette méthode permet 
néanmoins, dans des cas pratiquement étendus, de prouver la 
convergence uniforme de la série de Courier; elle peut d’ailleurs 
être considérée comme un cas particulier d’une méthode déve- 
loppée par M. Kneser pour des séries plus générales. L’auteur en 
fait l’application à la démonstration des propriétés fondamen- 
tales des fonctions harmoniques. 
Dans le Chapitre 111, M. Lebesgue attaque l’étude de la con- 
vergence des séries de Courier par une méthode qui lui est 
propre — il l’a d’abord fait connaître dans les Mathematisci-ie 
Annalen — et qui fait appel à toutes les ressources de la théorie 
moderne des fonctions évoquée dans l’Introduction. Il parvient 
ainsi à donner aux conditions sudisantes de convergence une 
forme très générale d’où se déduisent tous les critères connus 
jusqu’ici. Parmi les applications qu’il fait ensuite des séries de 
Courier, on peut citer le calcul des sommes de Causs. 
Alors que, dans la période allant de Dirichlet à Riemann, les 
travaux relatifs aux séries de Courier ont été exclusivement 
dirigés vers l’étude de leur convergence, les recherches de 
Weierstrass vinrent, pour la première fois, attirer l’attention sur 
le parti que l’on pouvait tirer de séries de Courier divergentes 
en vue de l’approximation de certaines fonctions continues. 
Celte question est étudiée par l’auteur dans le Chapitre IV, où il 
rattache fort habilement aux résultats classiques ceux qui se 
dégagent des recherches les plus modernes, synthétisées, en 
quelque sorte, dans un remarquable travail de M. Cejér. 
Après avoir fait une étude rigoureuse des opérations (multi- 
plication, intégration, dérivation) sur les séries de Courier, 
l’auteur en donne quelques applications géométriques au théo- 
rème de Jean Bernoulli et à celui des isopérimètres. 
Entin, le Chapitre V est un exposé admirablement résumé des 
grands mémoires de Riemann, P. du Rois-Reymond, G. Cantor 
sur la recherche de la série trigonomé trique la plus générale 
représentant une fonction donnée. 
11 ne sera pas possible désormais de faire progresser la théorie 
des séries trigonométriques sans partir des résultats si habile- 
ment groupés par M. Lebesgue dans son excellent compendium. 
M. 0. 
III e SÉRIE. T. XIV. 
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