VARIETES 
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vulgarisant à la suite de Xicolas-le-Rhabdas un procédé d’extrac- 
lion approchée de la racine carrée, emprunté à Héron et que les 
Italiens recueilleront de l’étude de sa Logistique; de même 
encore, ce moine byzantin lsaac Argyre (mort non en 187:2, mais 
après 188Ü), multipliant jusqu’en sa vieillesse ses écrits mathé- 
matiques. 
.Nicolas Artavasde de Smyrne, le Rhabdas, écrivit non au XV e , 
mais au XIV e siècle, notamment en Joil. 11 commente et vulgarise 
le Calcul hindou de Planude. Il connaît, et s’assimile Diophante. 
11 expose la preuve par 9, déjà connue des Grecs anciens malgré 
leur fâcheux système numéral ; M. R. Rail eu attribue par erreur 
l’invention aux Arabes. 
L’auteur du Traité des Carrés magiques n’est pas le Manuel 
Moschopoulos de Byzance, qui assistait au siège de Constanti- 
nople de 1-ibd; mais son homonyme Manuel Moschopoulos le 
Crétois, lui aussi grammairien et mathématicien, et il écrivit ce 
traité dans le premier quart du XIV e siècle à la demande du 
Rhabdas. La science de Moschopoulos en matière de carrés 
magiques ne lui était pas personnelle, quoi que semble dire 
M. R. Bail : son traité résumait, incomplètement, les traditions 
d’origine soit hindoue soit musulmane. Sur les carrés magiques, 
M. R. Bail pourrait et rectifier et compléter son petit exposé 
historique en consultant les Récréations mathématiques , d’É. 
Lucas et Y Encyclopédie Mathématique (édition française) de 
Molk (1). 
longtemps avant le livre de Planude, écrit à très peu près en l'an 1300, se 
répand chez eux l’algorithme complet, — usage des chiffres hindous et du zéro, 
— comme le témoignent cette Vqcpoipopia de 1451 et aussi les manuscrits 
inédits du TexpdpipXov de Oeorge Pachymère (cf. Hev. Archéolog. française, 
1X86 et 1904) : cet algorithme, possédé dès le début du XIII e siècle par les 
Latins, avait été implanté par eux en Orient, où, à la suite de la prise de 
Constantinople par leurs armes en 1404, ils avaient dominé pendant plus d’un 
demi-siècle. M. H. Hall se trompe donc en faisant de Planude Y introducteur 
du calcul hindou en Orient. 
(1) A propos des carrés magiques, pourquoi M. lî. Dali déclare-t-il de nulle 
utilité leur théorie, si élégante et si intéressante? Elle a sollicité les efforts de 
nombreux et célèbres mathématiciens, et le grand Fermât écrivait : « Je ne 
» sçay gueres rien de plus beau en l’Arithmétique que ces nombres que 
» quelques-uns appellent Planeturios et les autres Mayicos. » Franklin en 
1764 n'y voyait qu’une savante futilité, difficiles nuyœ .-il avait tort; il ne 
faut pas juger un problème mathématique sur son origine, ni surtout sur le 
nom qu’il porte; pas plus, aurait «lit Bachet de Méziriac, qu’un livre sur son 
titre ou un arbre sur son écorce. Qu’elle ait ou non son origine dans les 
vaines pratiques des faiseurs de talismans, la théorie des carrés magiques et 
des carrés appelés depuis Lucas carrés diaboliques, déjà entrevus par de la 
Mire, Euler et Sauveur, a eu des applications théoriques importantes : ainsi 
