BIBLIOGRAPHIE 
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Cette première partie s’attache à la généralisation, dans 
le domaine fonctionnel, des notions élémentaires du calcul 
différentiel, à commencer par celle de la continuité. L’auteur 
y développe l’étude de la variation première et des variations 
d’ordre supérieur des fonctionnelles. Il fait, très justement, 
une large place dans son exposé à une œuvre « cpii, selon le 
dire de i\I. Hadamard, s’annonçait admirable : celle de 
R. Gateaux, tué à l’ennemi en 1914, et dont l’œuvre si vite 
et si brutalement interrompue, avait ouvert au calcul 
fonctionnel la voie nouvelle de l’intégration ». 
Fort heureusement, ^I. Paul Lévy est là pour continuer 
cette œuvre, en même temps que celle de i\I. Volterra et la 
sienne propre. 
Notons, en passant, l’élégance avec laquelle il use, en ce 
sujet difficile, de considérations de géométrie à n dimensions. 
C’est, répétons-le, dans le domaine des équations aux 
dérivées fonctionnelles qu’il a, pour sa part, principalement 
affirmé sa maîtrise. A celle de ces équations qui sont du 
premier ordre est consacrée la deuxième partie ; parmi les 
nombreux types intéressants à en considérer, le plus simple 
est celui qui résulte de la généralisation des équations aux 
différentielles totales, au sujet duquel, comme on sait, 
^I. Paul Lévy a apporté les plus notables contributions. 
C’est lui, en outre, qui a introduit dans la théorie le t3q>e de 
ce qu’il a nommé les équations aux dérivées fonctionnelles 
partielles, générahsant les équations aux dérivées partielles 
ordinaires, et auxquelles il a su étendre les notions de carac- 
téristiques, d’intégrales complètes et la méthode d’intégra- 
tion de Cauchy. 
Dans la troisième partie sont étudiées les équations aux 
dérivées fonctionnelles partielles du second ordre, et notam- 
ment une équation qui généraUse celle de Laplace. Cette 
étude est fondée sur la générahsation, obtenue pour la 
première fois par Gateaux, de la notion d’intégrale ou, plus 
exactement, de celle de moyenne. « Tandis, fait remarquer 
l’auteur, que jusqu’ici l’analyse fonctionnelle présentait 
av'ec l’analyse ordinaire une analogie remarquable, la théorie 
de la moyenne en calcul fonctionnel est quelque chose d’es- 
sentiellement nouveau, ne ressemblant à aucune théorie 
de l’anah’-se ordinaire. » 
