VARIÉTÉS 
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joueur à la dernière d’entre elles, à rexcliision des précédentes. 
Puisipie, dans l’hypothèse d’Ampère, le joueur risque cha({ue 
fois la partie de sa for (une, nous poserons t = m -, 
il gagne p parties, il en perd m p. Si ('4 désigne le nonihredes 
combinaisons de k objets / à /, on aura Am+jp = moins le 
nombre des parties où la ruine du joueui' arrive à une des 
parties qui précède la (n? + par exemple, à la (/n 
r étant égal à 0, 1,4,... p 1. (les parties sont en nombre 
atin que l’on ait considéré en tout m + 4p parties, 
on joint à chacune d’elles p — y parties gagnées, p — r parties 
perdues, ce qui peut se faire de manières. On a donc enfin 
A = (’^ 
SA, 
,.p-r 
( 1 ) 
S étant un signe sommatoire relatif à r qui doit prendre tontes 
les valeurs de 0 à y? — 1 . 
Ampère obtient une seconde expression de .A»,+ 5 p en observant 
que ce nombre est aussi celui des parties en nombre m + — 1 
qui aurait réduit le joueur à ne plus posséder que la m'®™® partie 
de sa fortune. Pu calculant ce nombre par le procédé qui a 
donné la Ibrmule (1), l’auteur trouve une seconde expression de 
Aw+ 2 p, qui, comparée à la première, donne enfin 
Am+2p 
IH 
m, + 
pi> 
^in+îpi 
relation facile à trouver par induction, dit .Ampère. 
La formide (1) donne comme une somme de nombres 
combinatoires ampériens Am+?)' multipliés par des nombres 
combinatoires ordinaires. .Ampère, en changeant m + 'ip suc- 
cessivement en m + + J, né + 4p + 2, ..., m -f 4p -f- 
trouve la formule suivante : 
p * I ti' à I ”1 ^ '-^4 1 X 
j ' A»?,-f-2p -2“r ^ A??î-f-2j')-i“T 
Arrivé là, .Ampère, en vrai analyste observe que celte formule 
démontrée pour u entier positif est vraie aussi pour u fraction- 
naire ou négatif, parce qu’elle est une identité entre deux 
polynômes en ti. 11 y a des cas particidiers remarquables, par 
exemple, celui où l’on donne à u une valeur négative ([ui annule 
le premier membre et aussi celui où u = — m. 
