BIBLIOGRAPHIE 
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— 0,02 ■<[(//? : ü) — 0,6] <0,02 est plus grande que 0,999, si 
M =(i 0 l) 000 , d’après les inégalités de ïcliebycher; par la inélhode 
de Laplace, il sndit que g soit égal à 6520, c’est-à-dire 92 fois 
pins petit. 
Dans le § 16, l’antenr introduit l’intégrale de Laplace dans 
restiinalion des piobabilités étudiées, en recourant à l’analyse 
intinitésiinale. Oi-, après nenl' pages de calcul, il fait remarquer 
(p. 76) ([lie la démonstration ne permet nullement d’estimer le 
degré d’approximation des formules obtenues, ce qui est une 
lacune. 
Les travaux de .M. Ch. de la Vallée Poussin et les nôtres, 
publiés depuis longtemps déjà, donnent ce degré d’a[)proxima- 
tion tant pour le théorème de liernoulli que pour la loi des 
grands nombres de Poisson. Comme ces recherches publiées en 
Helgique sont trop peu connues en dehors de notre pays, nous 
croyons devoir les signaler ici. 
Vous avons publié dans les Annales de la Société scienti- 
fique DE Bruxelles en 1902, une démonstration du théorème 
de Bernoulli, pour une valeur finie de g. Nous avons enfermé la 
probabilité cherchée entre l’unité et l’intégrale de Laplace, dimi- 
nuée d’nne fraction dont l’expression est assez compliquée; nous 
avons, dans la suite, simplifié cette démonstration (Annales, 
etc., 1912, 19JB). Dès 1907 (même recueil), M. de la Vallée Pous- 
sin, par deux méthodes différentes, a resserré la même proba- 
bilité entre des limites plus rapprochées et de forme plus 
élégante. 
En 1910 (.Vnnales ; de plus, sans calcul dans le Bulletin de 
LA Classe des Sciences de l’.-Vcadémie de Belgique) nous avons 
montré que la démonstration de la loi des grands nombres de 
Poisson, pour q /ini, peut se déduire de toute démonstration du 
théorème de Bernoulli. Voici cette preuve en abrégé : Soit 
{p-\-(jY-= Ep .M( P, g) -f Er/, M(p,fy) se composant des termes 
moyens du binôme qui donnent la probabilité considérée dans 
le théorème de Bernoulli, Ep les termes qui précédent M(Pi(/) 
et dont le premier est p^, V.q les termes qui suivent M(Pi 7 ) et 
dont le dernier est q^ -, Ep, Eg sont évidemment des fonctions 
croissantes avec p ou q. On suppose, dans la Loi des grands 
nombres, que p varie de pj à p^, q de q^ k q^, p, étant supérieur 
à P 2 , 9.2 à (/,. 11 est évident que la probabilité à calculer pour 
établir cette loi est supérieure à 1 — Epj — Eq^ et, a fortiori, 
à 1 — Ep, — E 7 , — Epj — E^., ou M(p,, r/,) -f M(p^, q. 2 ) — 1 . Or 
la seconde méthode de M. de la Vallée l'oussin permet d’évaluer 
