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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES 
M. Riesz a lait œuvre vraiment originale. Elle ne s’est présentée, 
pour la première lois, sous forme autonome, que dans un 
célèbre mémoire de Poincaré qui date de J 886 ; mais, ainsi que 
l’auteur en l’ait très justement la remarque, « l’attention géné- 
rale n’y fut attirée, en réalité, que par deux mémoires de 
M. Hilbert, parus en 1906 et faisant partie d’une série de 
mémoires sur l’équation de Fredholm ; dès lors, la théorie se 
dégageait rapidement et l’importance et l’inattendu des résultats 
acquis firent presque oublier tout ce que l’on en possédait déjà 
auparavant ». 
Et l’auteur ajoute aux lignes qui précèdent cette réflexion, 
d’une portée tout à fait générale, à laquelle ne saurait échapper 
aucune doctrine nouvelle : « Cependant, les théories ont leurs 
commencements : des allusions vagues, des essais inachevés, des 
problèmes particuliers ; et même lorsque ces commencements 
importent peu dans l’état actuel de la science, on aurait tort de 
les passer sous silence. » 
La première apparition, sur l’horizon mathématique, des sys- 
tèmes infinis d’équations linéaires à un nombre infini d’incon- 
nues a eu pour occasion une application due à Foncier et relative 
à la théorie analytique de la chaleur, de la méthode des coeifi- 
cients indéterminés au calcul des coefficients de développements 
en série représentant des solutions de certaines équations aux 
dérivées partielles. Chose curieuse : le résultat auquel aboutit 
Fourier, quoique exact, n’a été établi par lui que grâce à des 
déductions (pie la rigueur introduite en ce domaine par les 
recherches contemporaines permet de tenir pour non justifiées. 
Il s’en faut toutefois qu’elles aient perdu, telles qu’elles ont été 
produites, toute espèce de valeur aux yeux des analystes d’aujour- 
d’hui, attendu qu’on y rencontre le germe d’un principe qui, 
amené à une forme entièrement rigoureuse, se montre extrê- 
mement fécond ; c’est celui que notre auteur désigne sous le 
nom de principe des réduites. 
Les premières recherches critiques sur le sujet ont, ainsi que 
nous venons de le rappeler, été entreprises par Poincaré. Elles 
avaient été provoquées par une intéressante note de M. Appel!, 
parue en 1885, qui traitait de l’application de la méthode des 
coefficients indéterminés au développement de certaine fonction 
elliptique en série trigonométrique. 
Le rappel de toutes ces recherches préliminaires fait l’objet du 
premier chapitre du volume où sont encore rappelés sommaire- 
ment les travaux connexes de Fürstehau et de Kôtteritzsch. 
