BIBLIOGRAPHIE 
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Un pas décisif fut fait dans la voie qui nous occupe le jour où 
Poincaré, à cela incité par les recherches très intéressantes 
(mais d’une rigueur insuffisante sous le rapport analytique) de 
M. Hill sur le mouvement du périgée de la lune, jeta les premiers 
fondements de la théorie des déterminants infinis, développée 
par l’auteur dans le Chapitre 11 ; c’est, d’ailleurs, à M. von Koch 
que l’on doit, à partir des travaux de Poincaré, le développement 
de cette théorie nouvelle dont on peut dire qu’il est parvenu à 
établir tous les résultats essentiels. 
Le Chapitre 111 contient l’essai d’une théorie générale pour 
l’application de la méthode classique des déterminants aux 
systèmes infinis qui s’inspire surtout des travaux de M. E. 
Schmidt, mais sous une forme légèrement généralisée. 
Antérieurement à la théorie de M. Schmidt, M. Hilbert en 
avait donné une autre moins générale que celle-ci, mais beaucoup 
plus efficace que celle des déterminants, qu’il avait fondée sur 
l’étude des formes quadratiques et des formes bilinéaires à 
une infinité de variables. Cette théorie est exposée dans les 
Chapitres 1Y et V, avec des développements du plus haut intérêt 
sur plusieurs points desquels se manifeste la contribution per- 
sonnelle de l’auteur. 
Le Chapitre VI est réservé à quelques applications destinées à 
faire saisir la portée des théories qui précèdent sur des exemples 
bien caractéristiques. La première se rapporte aux équations 
différentielles linéaires comprenant comme cas particulier celle 
que M. Ilili a rencontrée dans l’étude du mouvement du 
périgée de la lune et qui a conduit ce savant astronome à faire 
un premier pas dans la voie aboutissant au domaine exploré 
dans le présent ouvrage. La seconde vise les équations intégrales 
linéaires dont on sait que M. Hilbert a ramené la résolution à 
celle des systèmes infinis d’équations linéaires à une infinité 
d’inconnues. D’ailleurs, ainsi que l’auteur en fait la remarque, 
« les relations entre les deux théories ne se limitent pas à une 
analogie formelle, mais on peut établir entre leurs objets une 
correspondance réelle», et cette étroite analogie ne se fait pas 
seulement sentir dans les résultats de ces théories, mais même 
encore dans les raisonnements qui permettent d’y parvenir. Enfin, 
la dernière application a trait aux séries trigonométriques et 
notamment au problème qui a pour objet de déterminer les 
deux bornes d’une fonction réelle donnée par son développement 
en série de Fourier. 
L’exposé de M. Riesz, très savant, très solide, et d’une forme 
