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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
on reconnaît que tous les systèmes possibles de géométrie 
sont compris dans le tableau suivant : 
A. Géométrie euclidienne, fondée sur les postulats 5 et 6. 
B. Géométrie lobatchefskienne, qui repose sur le postulat 6 
seulement, tandis que le postulat 5 11’est pas vrai dans ce 
système. 
C. Géométrie riemannienne, où le postulat 5 est vrai, même 
pour deux droites quelconques, mais où le postulat 6 n’est pas 
vrai (x). 
Euclide a donc si admirablement choisi ses postulats fonda- 
mentaux qu’il suffît de faire toutes les hypothèses possibles sur 
leur existence pour obtenir tous les systèmes de géométrie où 
la droite, le plan et l’espace sont supposés homogènes. 
3. Wallis (1616-1707) (pp. 15-30). Le célèbre auteur de YArith- 
metica infinitormn, premier titulaire de la chaire fondée par 
Sir Henry Saville. à Oxford, spécialement pour y expliquer 
Euclide, a publié, eu 1693. deux notes relatives aux Eléments, où 
l’on trouve la substance des leçons académiques faites par lui en 
1651 et en 1663. La seconde, qui contient une démonstration du 
5 e postulat, est traduite dans le livre de M. Stiickel. Wallis admet 
comme point de départ un nouveau postulat souvent reproduit 
dans la suite : il existe des triangles semblables. La démonstra- 
tion de Wallis n’est pas tout à fait rigoureuse, même si l’on admet 
son postulat, mais elle peut être rendue telle, si l’on remplace sa 
proposition 7, qui n’est pas vraiment démontrée, par une autre 
qu’il est facile d’imaginer. Le postulat de Wallis est d’ailleurs 
trop étendu : on peut établir le cinquième postulat d’Euclide, si 
l’on admet l’existence de deux triangles équiangles non équiva- 
lents, comme l'a remarqué Saccheri. 
Le travail de Wallis n’est donc pas une étude approfondie sur 
la théorie des parallèles et aurait pu être exclu sans inconvénient 
du livre que nous analysons. 
4. Saccheri 1667- 1733) (pp. 31-136). Nous avons publié, il y a 
quelques années, une analyse sommaire du premier livre de 
l'ouvrage du P. Saccheri : Euclides ab omni naevo vindicatus 
(Milan, 1733), où cet ingénieux géomètre essaie à son tour de 
démontrer le cinquième postulat d’Euclide, mais sans en intro- 
ït) Voir notre note Sur la métagéométrie et ses trois subdivisions 
(Bulletin de l’Académie royale de Belgique, 1895 , 3 « série, t. XXX, 
pp. 495498 ). 
