BIBLIOGRAPHIE. 
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les variations des paramètres dont dépendent les droites a et b r 
La réponse, en coordonnées de droites, revêt la forme la plus 
simple : Pour qu’il en soit ainsi, il est nécessaire et il suffit qu on 
ait o) (b | da) — 0 . La solution montre en outre que le nombre des 
paramètres se réduira nécessairement à deux et que le faisceau 
plan devra être constitué : 
Soit par un point d’une surface et le plan tangent en ce point; 
Soit par un point d’une courbe et un plan quelconque tangent 
à la courbe en ce point; 
Soit par le plan tangent d’une développable et un quelconque 
des points de contact de ce plan avec la développable; 
Soit par un point et un plan d’une droite, arbitrairement 
associés ; 
Soit par un point d’un plan, associé à ce plan ; 
Soit par un plan mené par un point, associé à ce point. 
Dans tous ces cas, M. Kœnigs dit que le faisceau plan a une 
enveloppe. 
Ce résultat si élégant permet de démontrer deux théorèmes 
importants. L’un est le théorème bien connu dû à M. Pasch : 
Dans tout complexe de droites, le lieu des points singuliers 
coïncide avec l'enveloppe des plans singuliers. 
L’autre est le théorème suivant, partiellement trouvé par 
M. Cayley et complété par M. Klein : 
Si toutes les droites d'un complexe sont singulières, elles ont 
une enveloppe, c’est-à-dire qu’elles touchent une surface fixe, 
non développable ou développable, ou bien coupent une courbe 
fixe. 
La fin du chapitre traite des congruences. L’auteur établit 
d’abord par la géométrie et l’analyse cette propriété fondamen- 
tale : Les droites d’une congruence sont tangentes à deux 
surfaces : les focales de la congruence. Elles peuvent se grouper 
en deux familles de séries i*églées développables ; sur chacune 
des surfaces focales, les arêtes de rebroussement des dévelop- 
pables d’une famille et les lignes de contact avec les dévelop- 
pables de l’autre famille forment un système conjugué. 
M. Kœnigs examine ce qui arrive lorsque pour chaque droite 
de la congruence les plans focaux sont confondus, et il obtient 
les deux cas suivants, dont le second est assez rarement consi- 
déré : ou bien la congruence est constituée par l’ensemble des 
tangentes aux lignes asymptotiques d’une famille d’une surface, 
ou bien elle est le lieu des tangentes à une développable aux 
différents points d’une courbe tracée sur cette développable. 
