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(coordonnées de Belframi, coordonnées trilinéaires) et l’étude de 
la droite et du cercle. Dans le chapitre III, on trouve lu réduction 
de ré(|iiation du second degré et la classification des lignes ({u’elle 
représente. En géométrie riemannienne, on n’ohfient que des 
lignes imaginaires et des ellipses réelles, avec le cercle comme 
variété. .Mais l’espace lohatchefskien est beaucoup plus l iche en 
courbes du second degré. On y trouve des courbes à centre réel 
et à deux axes ; ellipses (réelle, semi-réelle, idéale) et hyperboles 
(réelle, idéale), avec les variétés importantes, cercles et hyper- 
cycles on é(]uidislantes ; des courbes n’a^ anf pas de centre réel 
et à un seul axe : parabole (elliptique, véritable, hyperbolique); 
des boriconiques ayant un centre à distance infinie et un seul 
axe : borielli|)se, avec une variété remaiajuable, l’horicycle de 
Lobafcbefsky et de Bolyai, et boribyperbole. L’auteur étudie les 
propriétés de ces courbes, en particulier, leurs propriétés 
focales; il prouve (pie ce sont des sections coniipies et leur ctend 
les théorèmes de Dandelin ; il considéré aussi les couicpies spbé- 
ricpies, borispbéricjues. hyperspbériques et les sections planes 
d’une surface équidistante d'une droite. 
Le chapitre IV traite des coordonnées dans l’espace, du plan, 
de la droite et de la sphère. Signalons ce théorème curieux : il 
existe en géométrie riemannienne des droites écpiidistantes. Le 
chapitre V est consacré d’abord à la classification des quadriques. 
11 y a un si grand nombre de variétés de surfaces de ce genre, 
en géométrie lobatchefskienne, que nous renonçons à donner un 
aperçu de la classification. L’auteur étudie ensuite les propriétés 
des quadriques (sections rectilignes. sections circulaires, coiiiipies 
focales). 
Enfin, dans le chapitre VI, on trouve la démonstration de ce 
théorème général : Chacun des trois espaces, riemannien, eucli- 
dien ou lohatchefskien, renferme des surfaces à courbure con- 
stante ^sphères, équidistantes d'une droite, pseudosphère) dont 
les géodésiques ont les propriétés des droites riemanniennes, 
euclidiennes ou lohatchefskien ne s. 
Au point de vue philosophique, ce théorème est le plus remar- 
quable qui ait été trouvé depuis ceux de Lobatchefsky, Bolyai et 
Beltrami qui en sont des cas particuliers : La géométrie des hori- 
cycles sur les horisphères est euclidiennne, la géométrie des géo- 
désiques cl’îine pseudosphère euclidienne est lohatchefskienne. 
Le théorème de M. Barbarin relatif aux géodésiques d’une sur- 
face équidistante d’une droite est presque intuitif. 11 faut espérer 
que les géomètres et les philosophes insuffisamment au courant 
