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REVUK DES ,QUEbTIÜMS SCIENTIFIQUES. 
de la géométrie non euclidienne, voudiont bien méditer sur la 
portée philosophique de ce théorème de M. Barbarin, et s'ils 
peuvent le faire, sur celle de son théorème général. Que de fois 
n’a-t on pas dit : “ Les géomètres non euclidiens croient étudier 
le.s propriétés du plan lobatchefskien ou riemannien ; en réalité, 
ils étudient les propriétés euclidiennes de la pseudosphère ou de 
la sphère euclidienne „! — Les non euclidiens répondaient à leurs 
contradicteurs : “ Vous croyez étudier les propriétés de la droite 
et du plan euclidiens ; en réalité, vous étudiez les propriétés des 
horicycles sur les horisphères. „ Mais ils n’étaient pas compris : 
les horicycles et horisphères ne sont connus que de ceux qui 
sont assez avancés en géométrie lobatchefskienne. A l’avenir, les 
géomètres non euclidiens pourront employer, dans leur argu- 
ment ad homrneni, au lieu des horicycles et des horisphères, les 
hélices et les surfaces équidistantes d’une droite dont les pro- 
priétés sont presque évidentes, et alors, sans doute, on saisira la 
portée de leur argument. 
M. Barbarin cite les ouvrages suivants où l’on peut trouver les 
principes de la géométrie non euclidienne, indispensables à 
l’intelligence de ses Études : les Recherches géométriques de 
Lobatchefsky, la Science absolue de l’Espace de Bolyai, ou la 
Thèse de Gérard (tous trois, à Paris, chez Hermann), ou V Essai 
de De Tilly (celui-ci est épuisé). C’est demander beaucoup, nous 
semble-t-il, à moins que le lecteur ne se borne à la partie essen- 
tielle de l’un ou l’autre de ces ouvrages, c’est-à-dire à ce qui est 
indispensable pour arriver à la trigonométrie non euclidienne. A 
la rigueur, il peut se contenter de l’article de Gérard, dans les 
NouvEU.Es Annalls de Mathématiques (3*^ série, t. XII, pp. 74-84), 
sur la géométrie lobatchefskienne et de la transposition que nous 
en avons faite en géométrie riemannienne (Matjiesis, t XV’^, Sup- 
plément II, pp. 8-21). Plus simplement encore, celui qui veut s’ini- 
tier à la géométrie non euclidienne, n’a (lu’à admettre comme 
point de départ, à vérifier plus tard, la remarque suivante : La 
trigonométrie riemannienne est identique à la trigonométrie 
sphérique, la lobatchefskienne à cette trigonométrie où les côtés 
a, b, c des triangles sont remplacés par ai, bi, ci, i désignant 
1—1 (voir Mathesis, IX, pp. 112-117, 134.-139, 158-161). Bien 
entendu, il doit préalablement se familiariser avec dix on douze 
fuimules de la théorie des fonctions hyperboliques, ce qui ne 
coûte guère qu’une heure de peine, quand ou les détinit au moyen 
des exponentielles, sans faire intervenir ni les séries, ni une 
représentation géométrique. 
