NOTICE SUR LES RECHERCHES DE M. DE TILLY. 585 
qui rencontre deux autres droites situées dans un même plan, 
fait acec ces droites du même côté des angles intérieurs dont la 
somme soit moindre que deux angles droits , ces deux droites 
prolongées se rencontrent du côté où la somme est inférieure 
à deux droits. „ 
Dès l’antiquité, des tentatives furent faites pour déduire, de 
théorèmes antérieurs, cette proposition, appelée souvent postu- 
latum d'Euclide, niais personne n’y réussit. 
Il en fut de même dans les temps modernes : Nassareddin, 
Clavius, Wallis, Saccheri, Lambert, Legendre, s’efforcèrent en 
vain d’asseoir sur une base inébranlable les principes fondamen- 
taux de la Géométrie (4). 
Gauss, Lobatchefsky et Jean Bolyai découvrirent presque en 
même temps, vers 1S30, la vraie nature logique du postulatum 
d'Euclide : il n’est pas une suite des vérités géométriques qui le 
précèdent dans les Eléments; il 11’est pas non plus en contradic- 
tion avec elles: il en est indépendant. Il exprime l’une des deux 
suppositions, également admissibles au point de vue de la 
rigueur mathématique, que l’on peut faire sur la manière d’être 
de deux droites, supposées infinies, situées dans un même plan 
et non perpendiculaires à une même troisième. Le postulatum 
d’Euclide conduit à la Géométrie ordinaire: l’hypothèse contraire 
conduit à une autre Géométrie, la Géométrie non euclidienne, 
tout aussi rigoureuse que celle qui est basée sur le postulatum 
d’Euclide et d’ailleurs pratiquement équivalente, au point de vue 
des applications. 
Gauss se contenta de communiquer un extrait de ses recherches 
à Schumacher sans en rien publier, mais en lui donnant une 
forme si précise que personne 11e peut douter qu’il 11e fût en 
possession des vérités fondamentales de la Géométrie non 
euclidienne (5). 
Jean Bolyai fit paraître, en 1832. un court exposé de cette 
nouvelle branche des mathématiques, en appendice à un livre de 
son père (6). 
Lobatchefsky, le premier, avant Gauss et Bolyai, avait publié 
un mémoire sur la matière ; il ne cessa, pendant trente ans, de 
développer ses recherches dans ce domaine, principalement 
en langue russe, dans les Mémoires de Kazan, mais aussi en 
français, dans un article du Journal de Crelle et dans son dernier 
ouvrage; en allemand, dans une brochure publiée à Berlin (7). 
Les écrits de Lobatchefsky et de Bolyai restèrent longtemps 
ignorés en Occident, et bien des chercheurs essayèrent de 
