NOTICE SUR LES RECHERCHES DE M. DE T1LLY. 58j 
chefsky (12), et cette traduction avait été accueillie dans le 
inonde savant avec l’intérêt qu’elle méritait. 
Deux ans plus tard, Beltrami démontrait qu’il existe une 
correspondance presque parfaite entre les propriétés des triangles 
géodésiques tracés sur des surfaces à courbure constante néga- 
tive et celles des triangles rectilignes dans le plan lobachefs- 
kien (13). Il en conclut, par un raisonnement ingénieux, qu’il est 
impossible de démontrer le postulation d’Euclide parla considé- 
ration des figures planes. 
Le Mémoire de Beltrami eut un grand retentissement : après 
cet écrit, ceux qui croyaient encore le postulation démontrable 
ne pouvaient plus en chercher de preuve en dehors de la Géo- 
métrie solide. 
C’est M. De Tilly qui, le premier, croyons-nous, établit que le 
postulation d’Euclide est indémontrable par un raisonnement 
géométrique quel qu’il soit, en 1872, dans un compte rendu d'un 
ouvrage de M. Flye de Sainte-Marie (13), en 1873, sous une 
forme plus développée, dans un rapport sur un Mémoire de 
M. Genocchi (15). 
III. 
Quelques années plus tard, en 1877, M. De Tilly présentait à 
la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux un 
travail d’ensemble où il réunissait sous une forme systématique 
nouvelle, non seulement ses spéculations antérieures sur les 
principes de la Géométrie, mais aussi (outre un essai sur les 
bases de la Mécanique dont nous ne dirons rien ici) un exposé 
complet et original d’une nouvelle branche de la Géométrie non 
euclidienne, celle qui porte le nom de Riemann. 
Riemann, en 1854, et dans une leçon inaugurale, avait émis, 
sur les principes de la Géométrie, quelques idées neuves et 
profondes qui 11e furent livrées au public qu’après sa mort, 
en 1867 (16). 
Malgré la forme concise et obscure sous laquelle elles avaient 
paru, elles 11e tardèrent pas à susciter chez les géomètres un 
nouveau courant de recherches relatives aux principes de la 
Géométrie. Outre les deux alternatives que nous avons signalées 
plus haut relativement à la position de deux droites dans un 
plan, celle d’Euclide et celle de Lobatchefsky, il y en avait une 
troisième tout aussi admissible, soit au point de vue spéculatif, 
