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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
soit au point de vue pratique. Quelle était cette troisième alter- 
native ? La voici sous une forme plus saisissable que celle que 
Riemann lui a donnée : La somme des trois angles d’un triangle 
peut, sans aucune contradiction, être supposée non seulement 
toujours égale à deux droits, connue dans la Géométrie d’Euclide. 
ou toujours inférieure, comme dans celle de Lobatchefsky, mais 
elle peut aussi être supérieure. 
Le Mémoire de Riemann, que Hoiiel fit connaître par une 
traduction française en 1870, ne contient pour ainsi dire que 
l’idée fondamentale du système de Géométrie qui correspond à 
cette troisième alternative. M. De Tilly, admirablement préparé, 
par ses méditations antérieures, à saisir le germe fécond contenu 
dans l’idée de Riemann, en vit toute la portée. 
D’autres géomètres qui, après Beltrami et Cayley (17). avaient 
traduit les spéculations de Lobatchefsky dans la théorie des 
surfaces à courbure négative ou dans des propriétés équivalentes 
de l’hyperbole, transposèrent aussi l’idée de Riemann, dans la 
théorie des surfaces à courbure positive ou dans des propriétés 
presque équivalentes de l’ellipse. 
Il n’en fut pas de même de M. De Tilly dans son second 
grand Mémoire, son Essai sur les principes fondamentaux de 
la Géométrie et de la Mécanique (18). Dans ce remarquable 
ouvrage, c’est directement qu’il attaque et expose d’une 
manière complète les bases de la science de l’espace. Repre- 
nant à son insu peut-être une idée émise par Cauchy en 
1833 (19)» il fonde toute la Géométrie sur la notion d’intervalle 
ou de distance de deux points. Cette notion première irréduc- 
tible, il l’analyse avec une sagacité et une rigueur magistrales 
et il en fait sortir successivement la Géométrie de Riemann, la 
Géométrie de Lobatchefsky et enfin celle d’Euclide. 11 admet, 
pour cela, d’abord la notion de distance seule, sans aucun postu- 
lat. puis un premier et enfin un second postulat de simplifica- 
tion. 11 développe, à partir des premiers principes, le plan d’un 
traité complet de Géométrie et de Trigonométrie dans les trois 
hypothèses. 
Cette fois, le succès fut complet, sauf peut-être en Belgique, 
où des spéculations aussi profondes ont rarement du retentisse- 
ment. Il fut d’autant plus complet, qu'à part un manuel de 
M. Frischauf (20), il n’existait aucun livre sur la matière, et que 
celui de M. De Tilly portait à chacune de ses pages la marque 
d’un esprit original et profond. Aussi le livre de M. De Tilly fut- 
il bientôt épuisé et introuvable. Mais l’auteur 11e s’en tint pas là. 
