NOTICE SUR LES RECHERCHES DE M. DE TILLY. 58g 
IV 
En terminant son rapport sur le livre de M. De Tilly à la 
Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux, Hoiiel 
avait dit : “ Par l’insertion de ce travail, la Société, dans l’espace 
de douze ans, aura fait connaître à la France l’alpha et l’oméga 
de la nouvelle Géométrie. Lobatchefsky, le premier révélateur de 
cette doctrine, a été dépassé. Nous croyons que les conceptions de 
M. De Tilly ne seront pas dépassées de sitôt. „ Hoüel s’est 
trompé, mais c’est M. De Tilly qui s’est surpassé lui-même en 
écrivant le dernier Mémoire dont il nous reste à rendre compte. 
Ses réflexions sur les principes de la Géométrie l’avaient 
conduit peu à peu à une conception plus profonde de l’ensemble 
des questions qu’il avait étudiées jusque là. Il en fit connaître 
l’idée fondamentale dans une note du discours qu’il prononça 
comme Directeur de la classe des sciences de l’Académie de 
Belgique, le 16 décembre 1887 : “ Il y a entre n points, 1/2 n (n-i) 
distances et, à partir de n = 5, il existe une relation entre 
ces distances, relation qui n’est pas la même dans les divers 
systèmes de Géométrie, et qui contient le paramètre constant de 
la Géométrie réelle (21). „ 
Cette relation avait été donnée, sans aucun développement, en 
1870 et 1873, par Schering pour les deux Géométries non eucli- 
diennes (22), et, au siècle passé, par Lagrange (23) pour la Géo- 
métrie euclidienne ; Cayley avait mis la relation euclidienne 
sous une forme remarquable dans le premier Mémoire qu’il ait 
publié (24). 
C’est de ces relations que M. De Tilly fait sortir la Géométrie 
tout entière dans le Mémoire intitulé : Essai de Géométrie analy- 
tique générale, publié à la fin de l’année 1893 (25). 
Il observe d’abord, comme dans son livre antérieur, que toutes 
les vérités de la Géométrie peuvent se réduire en dernière analyse 
à des relations entre des distances, parce que les autres idées 
qui se rencontrent dans la science de l’espace ne sont que 
conventionnelles, tandis que la distance de deux points est une 
notion première irréductible. Ces relations elles-mêmes dépendent 
d’une seule relation entre n points, n surpassant de deux unités 
le nombre des dimensions de l’espace : dans l’espace réel, n = 5. 
comme le prouve l’expérience. 
La relation fondamentale existe donc entre les dix distances 
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