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de cinq points. Mais elle n’est pas arbitraire : elle doit être telle 
qu’elle subsiste pour tous les groupes de cinq points de l’espace ; 
autrement dit. elle doit vérifier un théorème que l’on peut appeler 
la condition des six points. M. De Tilly prouve que cette condi- 
tion est nécessaire et suffisante, et qu’elle est vérifiée tant pour 
la relation de Lagrange que pour celle de Schering. La démon- 
stration est faite en introduisant dans les calculs certaines 
coordonnées qui sont définies d’une manière purement analytique 
à partir de la notion même de distance. 
Ces coordonnées permettent d’établir l’équation de la ligne 
droite sous la forme classique, non seulement en Géométrie 
euclidienne, mais aussi en Géométrie non euclidienne, et. par suite, 
l’auteur peut en démontrer avec la plus grande facilité la plupart 
des propriétés ainsi que celles du plan. 
Observons toutefois que l’une de ces propriétés, celle qui se 
rapporte à la mesure de la longueur de la droite et où intervient 
nécessairement le calcul intégral, suppose des calculs assez ardus 
qui sont peut-être trop abrégés dans le Mémoire de M. De Tilly. 
Il en est probablement de même des raisonnements au moyen 
desquels il établit la vraie valeur du maximum de la distance de 
deux points. 
Ap rès avoir déduit les vérités fondamentales de la Géométrie 
des relations de Lagrange et de Schering. l’auteur indique avec 
précision la portée des trois Géométries au point de vue expéri- 
mental, et il montre pourquoi il est impossible de démontrer le 
postulatum d’Euclide d’aucune manière. 
Les calculs les plus difficiles du Mémoire sont rejetés dans 
les notes qui le terminent, suivant une habitude de l’auteur qui 
ne contribue pas toujours à la clarté. Mais Tune de ces notes, la 
quatrième, a un autre but. Elle contient la démonstration som- 
maire de ce théorème capital : Il 11’existe pas d’autre système de 
Géométrie possible que ceux d’Euclide, de Lobatchefsky et de 
Riemann. Cette démonstration, à la forme près, est empruntée à 
ses deux grands Mémoires antérieurs et les relie au Mémoire 
actuel pour en former un tout indissoluble. 
La question des principes de la science de l'espace est l’une de 
celles qui ont le plus préoccupé les géomètres et, parmi eux, 
quelques-uns des plus illustres de notre époque, témoin les 
écrits sur ce sujet de Legendre, Lobatchefsky, J. Bolvai, Riemann, 
Beltrami, Cayley, Klein, Darboux, Schering, Helmlioltz (26), 
Lie (27), Poincaré (28), Newcomb (29). O11 sait maintenant 
