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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
(16) reber die Hypothesen, welche der Géométrie su Grande liegen. 
Lu le 10 juin 1854, à la Faculté de philosophie de Gottingen; publié en 
1867. dans le tome XIII des Mémoires de Gottingen ; reproduit dans les 
Biemann’s Werke, 1876. pp. 254-369. Hoiiel en a donné une traduction 
française, en 1870. dans les Anncdi di Matematica, 2c série, t. III, 
pp. 309-827. 
Selon nous, ce Mémoire de Riemann et la plupart de ceux qui en ont 
été le commentaire ou la continuation, s’occupent presque exclusivement 
d'analyse parce que les coordonnées dont il y est question n’ont aucune 
définition géométrique, sauf si l'on suppose déjà étaldies soit la Géomé- 
trie euclidienne, soit les Géométries non euclidiennes, et si l'on se borne 
à étudier l'espace à trois dimensions. Il est pourtant exact de dire que 
la Géométrie non euclidienne qui porte le nom de Riemann est vraiment 
sortie du Mémoire de ce profond géomètre et en particulier de cette 
remarque : “ Die Unbegrenstheit des Baumes besitst ddher eine grôssere 
empirische Gereissheit. ois irgend eine aussere Erfahrung. Hier au s folgt 
aber die Unendlichkeit keinestregs (Kiemann's Werke, p. 266. m, § 2, 
dernier alinéa). Cette seule remarque, avec les définitions du plan et de 
la droite de Cauchy, dont il est question dans la note 19, suffisent pour 
donner la Géométrie non euclidienne de Riemann. 
(17) .4 Si.rtli Memoir upon Quantics, publié en 1859 dans les Philoso- 
phical Transactions, t. CXLIX, pp. 61-90, reproduit dans The Colleded 
Mathematical Papers. Cambridge, 1889, vol. II, n» 158, pp. 561-592. 
La partie du Mémoire relative au sujet dont il s'agit ici se trouve 
pp. 583-592 (nos 209-230), et elle doit être rapprochée de notes importantes 
du grand géomètre, pp. 604-608. ajoutées en 1889 à son Mémoire, où, au 
fond, il reconnaît que toutes les spéculations de ce genre, pour avoir 
une vraie portée géométrique, doivent reposer sur la notion de distance : 
“ It must hoivewer admitted that, in applying tliis theory of Staudt’s to 
thetheory of distance, there is at leastthe appearance of arguing in a 
circle, since the construction for tlie product of the tico ratios, is in effect 
the assumption of the relation dist. PQ -|- dist. QR = dist. PR (p. 605. 
dernières lignes). Il cite ensuite un passage de R. S. Rail où celui-ci dit 
nettement qu’il y a là un cercle vicieux (p. 606). 
MM. Klein et Darboux ont publié d'importants travaux de Géométrie 
générale dans le sens de Cayley, qu'il n'entre pas dans notre plan de 
signaler ici. 
(18) Essai sur les principes fondamentaux de la Géométrie et delà 
Mécanique. Bordeaux, G. Gounouilhou. 1879 (vm-192 pp. in-8<>, 2 pi.). 
Cet ouvrage a été publié d'abord dans les Mémoires de la Société des 
sciences physiques et naturelles de Bordeaux, 2e série, t. III, pp. 1-190. 
Les pages i-viii contiennent le rapport de M. Hoiiel sur YEssai de 
M. De Tilly. 
(19) Sept leçons de physique générale, par A. Cauchy. Paris, Gauthier- 
Yillars. 1868 (in-18, de xii- 108 pages). Ces leçons ont été faites à Turin, 
en 1833. Cinquième leçon : De l’espace et de l étendue (pp. 40-51). C’est là 
que se trouvent ces remarquables définitions de la droite et du plan : 
La notion de distance étant regardée comme une notion première irré- 
ductible, un point M est dit appartenir à la droite AR (ou au plan ABC) 
si aucun point de l'espace n’est distant de A et B (ou de A, B et C) 
comme l'est M. 
