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tenu à la faire ressortir comme une conséquence naturelle des 
idées de Cauchy. On sait d’ailleurs que, de son côté, M. Lindelôf 
a fait remarquer, dans son Calcul clés résidus (1), que le prin- 
cipe fondamental du prolongement analytique a d’abord été 
énoncé par Cauchy. 
Cette théorie entraîne l’étude des notions d’espace lacunaire 
et de coupure essentielle, que l’auteur introduit par une méthode 
qui lui est aussi personnelle. 11 rattache avec beaucoup d’élé- 
gance au théorème général de Cauchy un théorème d’Hermite 
sur les fonctions affectées de coupures, définies par une intégrale 
dépendant d'un paramètre. 
Les Fonctions analytiques de plusieurs variables font l’objet 
du Chapitre XVII. A la vérité, l’auteur se borne au cas de deux 
variables, mais ses démonstrations peuvent être immédiatement 
étendues au cas d’un nombre quelconque de variables. 
Les généralités par lesquelles débute ce chapitre sont traitées 
avec ce souci de complète rigueur qui n’abandonne jamais l’au- 
teur et qui l’a conduit notamment à insister largement sur deux 
questions essentielles, qu'on n’est pas habitué à voir toujours 
traiter avec un tel soin : les cercles de convergence associés et 
la définition des intégrales doubles. Comme appartenant plus 
particulièrement en propre à M. Goursat, on peut citer la démon- 
stration de la formule de différenciation sous le signe intégral, 
ainsi que la définition de T (s) pour les valeurs de z dont la partie 
réelle est négative. 
Cette rigueur observée dans les généralités assure un solide 
fondement à la théorie des fonctions implicites, qui suit immé- 
diatement, et notamment à celle des fonctions algébriques dont, 
en une dizaine de pages, les prémisses sont développées avec 
une maîtrise qui ne saurait surprendre de la part de l’auteur 
dont on connaît sur ce sujet le Traité magistral, publié en com- 
mun avec M. Appell. En particulier, M. Goursat est parvenu à 
rendre tout à fait rigoureuse la démonstration du théorème de 
Weierstrass sur la décomposition d’une fonction holomorphe 
F (x, y) s’annulant pour x *= 0 , y = 0 , ainsi que l’extension de 
la formule de Lagrange au cas des fonctions explicites définies 
par un système d’équations simultanées. 
Le Chapitre XVIII. qui vise la formation des Éciuations diffé- 
rentielles et les Méthodes élémentaires d'intégration, n’offre que 
l’exposé des cas, depuis longtemps classiques, d’intégration par 
(1) Revue, d’avril 1905. p. 621. 
