BIBLIOGRAPHIE. 5ç7 
grales multiples les plus générales, ne faisant appel qu’à la 
partie indispensable de la doctrine des ensembles. 
Il définit ensuite les intégrales à champ infini ou à élément 
infini et fait la théorie rigoureuse de leur réduction à des inté- 
grales simples, de leur dérivation et intégration par rapport à 
un paramètre, en donnant de nombreuses applications très inté- 
ressantes. 
Toute cette partie a une grande valeur par sa précision, sa 
simplicité, son caractère pratique. 
D'ailleurs M. de la Vallée Poussin avait publié, dans cet ordre 
d’idées, deux excellents Mémoires dans le Journal de M. Jordan 
(1899) et dans les Annales de la Société scientifique de 
Bruxelles (1892), mémoires bien connus de tous. 
2° Il est essentiel de dire, dès l’abord, que l’auteur considère 
toujours et exclusivement des variables réelles. Il démontre, par 
une méthode qui n’est ni celle de Cauchy (Calcul des Limites), 
ni celle de Cauchy -Lipschitz, ni celle de M. Picard (approxima- 
tions successives), V existence de l’intégrale unique d’un système 
d’équations différentielles du premier ordre, et la continuité de 
l’intégrale relativement aux constantes arbitraires (p. 130 à 
» p. 186 ). 
Beaucoup d’équations sont alors intégrées effectivement. 
Pour les équations linéaires, M. de la Vallée Poussin introduit, 
dès l’abord, le Wronskien et la formule de Liouville et établit 
la théorie de l’intégration avec beaucoup de soin, en particulier 
par la méthode des multiplicateurs (p. 188 à p. 186). Dans le cas 
où les coefficients sont constants, il fait usage des opérations 
symboliques de Brisson et de Cauchy. Quelques pages sont con- 
sacrées aux équations classiques de Bessel et de Riccati, avec* 
une contribution personnelle de l’auteur. 
Puis viennent les équations aux dérivées partielles linéaires, 
intégrées par la méthode de Gilbert “ qui ne laisse échapper 
aucune solution 
L’on peut regretter, peut-être, que l’auteur n’ait pas montré 
la génération des intégrales par des assemblages de caractéris- 
tiques ; mais ce n’est point là un grief considérable... 
Les équations aux différentielles totales sont étudiées d’une 
manière détaillée tant pour une équation que pour un système. 
L’on peut dire que si, dans toute cette partie, le point de vue 
est assez élémentaire, il est du moins extrêmement pratique, 
ainsi qu’il convenait dans une œuvre d’où la variable complexe 
est exclue à dessein. 
