BIBLIOGRAPHIE. 
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principes reneonlres aux surfaces réglées. Il revient ensuite à la 
théorie pour examiner en détail les propriétés des divers élé- 
ments géométriques qui jouent là le rôle primordial : droites 
conjuguées de Chasles, caractéristiques et foyers des plans, 
adjointes aux plans. Cette dernière notion, qui appartient bien en 
propre à M. Mannheim, est fort importante. En effet, les droites 
conjuguées qui interviennent si heureusement lorsque, parmi les 
données des déplacements, il existe des trajectoires de points, ne 
sauraient avoir d’utilité en dehors de ce cas, par exemple si les 
données comprennent des plans assujettis à toucher des surfaces 
fixes. Les adjointes rendent alors les plus grands services. 
Les principes, très nombreux bien que très généraux, qui se 
rencontrent à cet endroit, sont immédiatement appliqués à 
l'étude des hélicoïdes réglés. L’auteur en déduit aussi la 
méthode des normales dans le cas d’un déplacement assu- 
jetti à cinq conditions. 
Il faut noter en passant (p. 12 1) l’importante réduction effec- 
tuée par M. Mannheim de chacune des diverses conditions 
simples, qui entrent dans la définition du déplacement d'une 
figure, à cette condition unique : un point est assujetti à rester 
sur une surface donnée. D’autres auteurs, Schônemann notam- 
ment, avaient considéré des déplacements définis par des condi- 
tions de ce dernier genre sans s'être occupés de reconnaître si 
toute autre condition propre à définir le déplacement pouvait y 
être réduite. On peut entrevoir par là l'importance de la consi- 
dération nouvelle de cette réduction. 
L'auteur passe ensuite à la théorie du déplacement d’une 
figure de forme invariable lorsque ce déplacement n’est assujetti 
qu’à quatre conditions, théorie dont il a été le premier à faire 
ressortir l’importance. 
Parmi les applications qu’il en donne, il faut mentionner, après 
la méthode des normales, étendue à ce cas et après son célèbre 
théorème sur les normalies, une théorie purement géométrique 
de la courbure des surfaces dont il a depuis longtemps fait con- 
naître les grandes lignes dans son cours de l’École polytechnique, 
mais où il a introduit divers résultats nouveaux, notamment en 
ce qui concerne les droites de courbure dont la notion lui appar- 
tient. Il faut citer à part des propositions fort élégantes (pp. i 5 o et 
suiv.) relatives à la courbure du contour apparent d’une surface 
projetée orthogonalement sur un plan. 
Vient ensuite l’étude très développée de quelques déplace- 
ments particuliers, qui renferme une foule de curieux théorèmes, 
