BIBLIOGRAPHIE 
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La Géométrie analytique générale, par H. Laurent, l'n vol. 
in-4° de vii-151 pages. — - Paris, Hermann, 1906. 
Cet ouvrage étend à l’espace à n dimensions les définitions et 
les problèmes fondamentaux de la géométrie classique. Cette 
généralisation, théoriquement assez aisée, offre des difficultés de 
calcul où l’auteur trouve occasion de manifester son esprit de 
méthode et son originalité. Il donne deux formes nouvelles d’une 
théorie de l’élimination. 11 démontre et généralise un théorème 
que Chasles croyait inaccessible à l’analyse, et dont Liouville 
avait donné une première démonstration. 
Dans l’introduction, dans le chapitre IV, intitulé Incursion 
dans le domaine concret , l’auteur fixe son point de vue relative- 
ment aux rapports de la géométrie théorique avec l’espace réel : 
la géométrie ne doit pas prendre son point de départ dans une 
idéalisation de l’espace sensible. Elle est une hypothèse qu’on 
applique. «Je ne pose aucun axiome, je n’ai pas besoin d’axiomes, 
je ne fais que des hypothèses et j’examine à la fois les consé- 
quences de mes hypothèses et des hypothèses contraires. » 
La géométrie sera donc édifiée sans appel à l’expérience : ce 
sera une branche de la théorie des nombres. Dans un système de 
géométrie à n variables, un point est un ensemble de n nombres 
x 2 ... x n , appelés coordonnées du point. Si les coordonnées 
d’un point sont toutes fonctions d’un paramètre arbitraire, 
l’ensemble de ces points constitue une ligne, etc... Les dénomi- 
nations points, lignes, plans, droites, espaces sont donc dénuées 
de toute signification spatiale ; elles n’ont d’autre but que de 
faciliter les énoncés. Une substitution effectuée sur les coordon- 
nées des points d’un ensemble s’appelle un déplacement. Si cette 
substitution est une transformation orthogonale, les distances 
(notion généralisée) et les angles sont des invariants : on dit que 
le déplacement s’est effectué sans changement de volume. 
On peut appliquer à l’espace réel le système de géométrie 
développé sur ces données purement rationnelles; it suttit défaire 
les deux hypothèses suivantes : la position d’un point de l’espace 
peut être fixée au moyen de trois coordonnées ; tout déplacement 
d’un corps correspond à une substitution orthogonale effectuée 
sur les coordonnées de ses points. Moyennant ces deux hypo- 
thèses la géométrie générale devient la géométrie d’Euclide, et 
les mots qu’elle emploie prennent la signification concrète que 
nous leur connaissons. 
