BIBLIOGRAPHIE. 
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recherches ; un supplément contient de nombreuses applications géomé- 
triques aux pinceaux de droites, ce qui rattache cette théorie à celle des 
systèmes de droites inaugurée par Plücker. 
L’étude des surfaces au point de vue de leur courbure, étude dont 
Euler et Monge ont posé les principes et qui compte au nombre des plus 
beaux chapitres de la géométrie, forme le point île départ des recherches 
de M. Mannheim sur les normalies. 11 appelle ainsi toute surface réglée 
qu’engendre la normale à une surface en se déplaçant le long d’une 
courbe tracée sur celle-ci. On a considéré depuis longtemps les norma- 
lies développables (ce sont les seules) qui s’appuient sur les lignes de 
courbure de la surface : en étudiant les normalies à un point de vue plus 
général, l’auteur a dû retrouver comme théorèmes particuliers les ré- 
sultats obtenus avant lui. En effet, après avoir établi par des raisonne- 
ments simples un théorème fondamental sur les normalies qui passent 
par une même normale de la surface, il en déduit le célèbre théorème de 
Meusnier qui relie la courbure des sections obliques à celle des sections 
normales, une jolie construction du rayon de courbure de ces dernières 
au moyen des centres de courbure dits principaux , et la relation d'Euler 
qui forme la traduction algébrique de celte construction. Les mêmes 
considérations île géométrie cinématique conduisent M. Mannheim aux 
théorèmes bien connus de M. Bertrand, de Sturm et de Ch. Dupin sur 
les normales qui se groupent autour d’une normale déterminée de la 
surface. Nous ne dirons pas que ce soit là le ohemin qu’il conviendrait 
d adopter pour une exposition classique de la courbure des surfaces, 
mais à raison du plan général de l’auteur et des préliminaires qui en 
facilitent le développement, c’était bien celui qui convenait le mieux ici. 
L’étude de l’indicatrice dans les différents cas, des tangentes conjuguées 
et des surfaces osculatrices se trouve également rattachée d’une manière 
naturelle à cet ensemble de propriétés cinématiques, et l’on peut ainsi 
aborder par la géométrie pure des régions où l'analyse a jusqu’ici servi 
de guide exclusif. 
La surface courbe qui, d’après les travaux de Fresnel, délimite 
l’ébranlement lumineux de l’éther dans les cristaux à deux axes optiques, 
présente, indépendamment de son intérêt en physique, un magnifique 
sujet d’étude pour les géomètres, sujet sur lequel se sont exercés Am- 
père, Mac-Cullagh, Plücker, etc... Généralement, c’est au moyen du 
calcul que ses propriétés ont été étudiées, la discussion des singula- 
rités de la surface paraissant exiger les ressources de l’analyse. S’ap- 
puyant sur la seule géométrie cinématique, M. Mannheim a abordé ces 
questions et d’autres plus difficiles ; il a publié dans divers recueils, sur 
la surface des ondes, des recherches du plus haut intérêt qui ont parti- 
culièrement attiré l’attention des géomètres anglais. Partant d’une défi- 
