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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
nition de la surface de l’onde qu’il ramène immédiatement à celle de 
Mac-Cullagh, et qui revient à la considérer comme l’enveloppe d’un 
plan mobile en relation avec les sections diamétrales d’un ellipsoïde, 
il cherche le point de contact du plan mobile et de son enveloppe. Pour 
cela, il considère la surface, lieu des projections du centre de l’ellip- 
soïde sur ses plans tangents, puis la transformée de cette podaire par 
rayons vecteurs réciproques, et prouve que le problème se ramène à 
construire la normale à cette transformée. C’est à quoi il parvient en 
appliquant au plan qui renferme les rayons correspondants de l’ellip- 
soïde et de la transformée, les propositions relatives au déplacement d’un 
plan mobile (Chasles); il obtient ainsi la construction du point demandé 
et une seconde définition de la surface de l'onde. 
Ces théorèmes permettent à M. Mannheim de discuter par la seule 
géométrie la forme de la surface, de montrer que les tangentes aux 
quatre points singuliers forment un cône du second degré, et qu’il existe 
quatre plans réels touchant la surface le long de quatre cercles. Enfin, 
la détermination de la normale en un point donné de la surface de 
l’onde se déduit de la même définition et des propriétés d’un plan 
mobile. 
Jusqu'ici, les résultats sont connus ; mais l'éminent géomètre aborde 
plus loin le problème difficile, non résolu jusqu'à lui, de construire 
géométriquement pour un point de la surface les directions des sections 
de plus grande et de plus petite courbure et les rayons de courbure cor- 
respondants. Pour cela, il s’appuie sur ce théorème démontré par lui, que 
si un solide se déplace de façon que ses points parcourent des surfaces, 
les normales à ces surfaces, dans une position donnée du solide, vont 
toutes rencontrer deux droites déterminées. Un cas particulier de ce 
théorème, dans lequel les deux droites se déterminent aisément, s’ap- 
plique à la figure formée par trois droites de l’ellipsoïde primitif et dont 
le déplacement est bien défini. Par là se trouvent construites les deux 
droites que rencontrent toutes les normales infiniment voisines de celle 
que I on considère sur la surface de l’onde, droites qui marquent sur 
celle-ci les centres de courbure principaux, et dont les directions sont 
en outre parallèles aux tangentes aux sections principales. Un théorème 
élégant résume ces propriétés ; la construction des huit ombilics réels de 
la surface est aussi un résultat de la méthode. 
Pour abréger, nous ajouterons seulement que les diverses théories 
dont nous donnons un aperçu trouvent d’importantes applications à la 
géométrie descriptive dans les derniers chapitres de l'ouvrage La con- 
struction des lignes d’ombre ou de contour apparent des surfaces réglées, 
en particulier des surfaces hélicoïdes, surfaces de vis à filet triangulaire 
ou à filet carré, la détermination des rayons de courbure principaux de 
