BIBLIOGRAPHIE. 
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sons p is néanmoins de supprimer des cours d'analyse ces démonstra” 
tions incomplètes ; car elles conduisent naturellement à la découverte 
du théorème et préparent le lecteur à la pleine intelligence des démons- 
trations plus rigoureuses, mais moins simples et moins naturelles. 
3° Au n° 248, p. 177, M. Iloüel admet, peut-être sans démonstration 
suffisante, pour le cas spécial considéré, qu’une sécante à une courbe 
y — Fx, telle que Fx est continue, devient une tangente à cette courbe 
en se transportant parallèlement à elle-même. Il est probable que le 
raisonnement de ce n°, rendu plus précis, ne diffère guère de celui du 
n° 209, p. 150. 4" Au n°254, p. 182, il aurait fallu dire un mot de la 
continuité des fonctions implicites, présupposée pour établir les règles 
de la dérivation. 5° Après le n° 281, p. 208, l’auteur aurait pu étendre 
les règles du calcul infinitésimal à toutes les fonctions élémentaires, que 
la variable soit réelle ou imaginaire. La méthode d’exposition de l’auteur 
lui aurait permis de prouver aisément que Dz n — nz n ~ l dz, quand 2 est 
de la forme x -f- y \/~\. Ensuite, en définissant e z par l’égalité 
e z — e x (cos y -j- /XT\ sin y), 
on trouve que 
e* — I 
lim ! , 
pour z = 0 (I), résultat d’où l’on déduit De 1 , Dlz, D sin z, etc. 6° n° 
293, ex VII, p. 229. La détermination des dérivées successives de y = 
[a? (e c — 1], pour x — 0, n’est pas rigoureuse, parce que l’on sup- 
pose à priori que y, y" etc., ne sont pas infinis. 7° Le théorème du 
n° 296, p. 233, et tout ce qui en dépend ne nous semble pas démontré 
comme il le faudrait. Comme ce point est important, que Duhamel, 
Calcul infinitésimal, I, u° 193, a employé à peu près le même raisonne- 
ment que M. Hoüel et qu’il nous semble insuffisant, nous entrerons ici 
dans quelques détails. Le théorème a l'énoncé suivant : Soit z, ( x , a) 
une fonction des deux variables indépendantes x et a continue par rapport 
à x [c’est-à-dire, pour toute valeur fixe de a], pour toute valeur de x 
comprise dans l’ intervalle de x 0 à AJ, et pour toute valeur de a voisine de 
à, A étant donné d’avance. Thomae a prouvé qu’on peut choisir pour h r 
une valeur unique assez petite A, ta même pour toutes les valeurs de x 0 -f £ 
à X - e, (î étant aussi une quantité aussi petite qu’on le veut, donnée 
d’avance), telle que f (x ± (j A) — f x <_ h , pour toutes les valeurs de G de 0 à 
1. On peut énoncer ce théorème en disant qu'une fonction continue de x 0 à X, 
est continue également entre ces limites. Il nous semble probable que l’on 
s’appuie implicitement sur ce théorème chaque fois que l’on considère les 
valeurs en nombre infini d'une fonction entre deux valeurs de la variable. 
(1) Voir notre Résumé du Cours d'analyse infinitésimale de V Université 
de Gand, p. 16 (Gand, 1877). 
