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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
zéro [c'est-à-dire, pour toute valeur fixe de a], et ayant pour toutes ces 
valeurs une dérivée finie et déterminée y (x, a) par rapport à x. Si, de 
plus, la fonction z> (x, x ) est, quel que soit x, infiniment petite en même 
temps que x, sa dérivée ç/(x, a) sera aussi, quel que soit x, infiniment 
petite en même temps que x. En premier lieu, considérons un exemple 
x 
particulier. Soit x 0 = 0, X== I , z> (x, a) = a e . On aura ç/= 
x 
| 2 x 
e a . La fonction o satisfait à toutes les conditions du théo- 
x 
1 
rème ; néanmoins pour x — 0, y -=* — —, quantité infiniment grande 
si x est infiniment petit. Il faut donc introduire dans l’énoncé du théorè- 
me, la restriction suivante : %' (x, x), entre x 0 et X, sera aussi infiniment 
petite. En second lieu, la démonstration du théorème ne paraît pas suffi- 
samment prohante. La voici en substance. Etant donnée d’avance une 
quantité î aussi petite qu’on le veut, on peut, pour toute valeur de x 
comprise entre x 3 et X, déterminer une valeur de x, fonction de x et de 
h, telle que 9 (x, a) < -— ih, a- (x -j- h, a) <[— — ê h. On déduit de là, 
en représentant par M (x, x), une quantité intermédiaire entre la 
plus grande et la plus petite valeur de y, de x à x -f- A, 
(-r-j-A, a) — (x, x) < s h, 
h M 'J (x, a) < z h, 
M r ' (Xj a) < c . 
L’une des valeurs de y (x, a), au moins, est donc plus petite que z, 
dans l’intervalle de x à x-{-h. Le même raisonnement peut se répéter 
pour tout intervalle h, entre x 0 et X. Il semble donc que l’on puisse 
appliquer à c' ( x, x), le théorème énoncé n 1 I75 bis , p. I 17-1 18, et 
conclure que l’on a, pour toute valeur de x, entre Xo et À', 9' (x, a) < z. 
Mais il n’en est rien. Dans ce n d 17o bis , la fonction considérée ne con- 
tient pas un paramètre variable avec h et x, tel qu’est a dans y {x, x) (1 ). 
Si a prend successivement les valeurs x x , a 2 , a 3 ,..., on n’a pas affaire 
à une fonction 0' (x, a), mais à plusieurs y {x, x{), y ( x , a 2) ), 
y (x, a 3 ),...,et. par suite, le théorème du n° I75 b,s ne peut pas être 
(1) Voici l’énoncé de ce théorème du n° 175t>i* : « Si l’on peut établir que 
dans toute portion h de l’intervalle X— x Q , où fx est continue, on a au moins 
une fois A < fx < B, A et B étant deux constantes données, on aura 
A < fx < B, pour toutes les valeurs de x comprises entre x 0 et X. » Pour 
démontrer ce théorème, on est forcé de faire décroître h indéfiniment. 
