254 REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
Toute l’introduction (chap. i) est consacrée à revoir, à préciser 
les principes concernant les nombres irrationnels (l’auteur adopte j- 
la définition de Dedekind), les opérations sur ces nombres, les \ 
nombres négatifs et imaginaires; puis la théorie des limites, dans 
laquelle l’auteur adopte comme principe fondamental celui de ^ 
Cauchy, ainsi que M. Jordan et nous-même l’avons fait, en en 
déduisant les autres; puis, la théorie des séries, réelles ou imagi- 
naires, séries potentielles, séries uniformément convergentes, 
règles générales de convergence ; enfin, produits infinis et frac- 
tions continues avec d’intéressantes applications. 
Ces notions, où l’idée de limite existe toujours, latente ou 
visible, forment un ensemble suspendu entre l’algèbre ordinaire 
et le calcul différentiel, correspondant au célèbre Cours d’Ana- 
li/se ahjébriqne de Cauchy, et auquel on devrait bien faire une 
place nettement marquée et suffisamment large dans nos pro- 
grammes d’étude. M. Cornes Teixeira traite ces questions avec 
beaucoup de clarté et de précision en même temps; il est abso- 
lument à la hauteur des meilleurs écrivains sous ce rapport. 
Nous observerons seulement que le théorème attribué à M.Jensen 
(p. 3q) se trouve déjà dans un mémoire admirable et trop peu 
connu de P. du Bois-Reymond (Journal de Crelle, t. lxxvi). 
Dans le chapitre ii, l’auteur aborde la théorie des fonctions, 
et spécialement des fonctions continues, avec toute la rigueur 
qu’elle demande aujourd’hui; les théorèmes de Weierstrass, de 
Gantor, etc... sont établis avec soin ; les propriétés des fonctions 
algébriques, exponentielles, circulaires, même pour le cas d’une 
variable imaginaire, font l’objet d’une étude sommaire, mais 
très serrée. Toutefois, pour les fonctions de plusieurs variables, 
l’auteur se borne à indiquer une ou deux des propriétés corres- 
pondantes, laissant la démonstration à faire. Or, nous croyons 
qu’il y a là une lacune: si la généralisation est facile des fonctions 
de deux à celles de trois, quatre variables, elle ne l’est pas quand 
on passe du cas d’une seule variable à celui de deux. Des 
ciuestions nouvelles se présentent et l’élève doit être guidé. 
Après ces préliminaires, M. Gomes Teixeira expose les prin- 
cipes sur les infiniment petits, les dérivées, les différentielles 
pour lesquelles il adopte à peu près la définition de M. Jordan ; 
puis les règles de différentiation et les relations entre les fonctions 
et leurs dérivées. Le théorème d’O. Bonnet, vu son importance, 
devrait être établi avec plus de rigueur, et les conditions de son 
existence sont trop étroites. Dans les questions relatives aux 
dérivées partielles, le théorème important concernant l’inversion 
