BIBLIOGRAPHIE. 
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de l’ordre des différentiations, bien que la démonstration en soit 
au fond rigoureuse, ne produit pas cet effet, à cause d’une nota- 
tion vicieuse pour les dérivées partielles. La différentielle totale 
est définie comme la somme des diftérentielles partielles. Enfin, 
les notions essentielles sur la dérivation des fonctions de variables 
imaginaires complètent cet exposé. 
Pour les fonctions implicites, l’auteur suppose d’abord 
l’existence de la dérivée et donne la manière de l’obtenir dans 
cette hypothèse; mais il établit ensuite, pour les fonctions impli- 
cites d’une ou de plusieurs variables, les théorèmes importants 
sur la continuité de ces fonctions et sur l’existence de leurs 
dérivées, théorèmes sur lesquels on s’appuiera plus tard dans 
la théorie des points singuliers. 
Les principales propriétés des déterminants fonctionnels, 
celle surtout qui révèle des relations entre les fonctions elles- 
mêmes, sont établies avec précision. Enfin, la notion de l’inté- 
grale définie et ses relations avec la dérivation sont données 
comme fondement à la théorie de la longueur des arcs de 
courbe. 
Les formules pour le changement des variables, ainsi que les 
applications du calcul différentiel à la théorie des courbes et des 
surfaces, sont traitées succinctement, trop peut-être : les grandes 
et intéressantes applications sont passées sous silence. 
Par contre, l’auteur développe largement plusieurs questions 
qui n’entrent pas d’habitude dans les traités courants et qui ont 
fait l’objet de ses recherches personnelles. Ainsi, la formule pour 
la dérivée d'ordre n d’une fonction de fonction est donnée par 
une méthode plus générale que celle dont se sert M. Bertrand 
dans son grand Traité, et de belles applications augmentent l’in- 
térêt de ce paragraphe. La relation entre la dérivée et la diffé- 
rence d’une fonction (p. 228) est démontrée trop brièvement: 
on ne voit pas bien si le raisonnement est rigoureux. 
La formule de Taylor est donnée comme cas particulier d’un 
théorème plus général publié par M. Gomes Teixeira (Nouv. Ann. 
de math., t. V, 3= série), et les diverses formes du reste, celle de 
Peano en particulier, s’en déduisent facilement. Aux applications 
de la formule de Taylor, l’auteur rattache élégamment les pro- 
priétés des fonctions de Legendre et le théorème d’Eisensteen 
sur le développement d’une fonction algébrique. Il donne aussi, 
à propos des formules d’interpolation, la méthode trouvée par 
lui-même pour interpoler une fonction dont on donne les valeurs 
et celles de ses dérivées successives pour un certain nombre de 
valeurs de la variable. 
