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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES 
fondé par les géomètres du XVIII e siècle, en particulier par Euler, 
les Bernoulli, par Lagrange, développé, au xix e siècle, par des 
hommes comme Jacobi, reçut ensuite l’épreuve de la critique de 
Weierstrass. 
On peut dire que cette science resta un peu désemparée. 
Après Weierstrass, on vit clairement que la doctrine ancienne, 
de Lagrange et de Jacobi, donne bien des conditions nécessaires , 
mais non point des conditions suffisantes. Tel est l’état de la 
question : il faut obtenir des conditions nécessaires et suffisantes. 
Avouons que le problème est difficile ; M. Hadamard le montre 
bien par la variété des méthodes qu’il expose et qu'il critique. 
11 faut évidemment attendre le tome second pour avoir une 
vue plus nette des résultats actuels et nul, plus que M. Hada- 
mard, n’est capable de nous la donner. Pour l’instant, parlons 
du premier volume, déjà riche en résultats positifs. 
Le problème, en apparence élémentaire, des Maxima n’est pas 
encore résolu, sauf pour les fonctions d’une seule variable. Il est 
difficile de distinguer le maximum du minimum et du minimax 
(qui n’est ni l’un ni l’autre). De plus, notons-le bien, le Calcul 
différentiel ne sait pas distinguer un extremum relatif d’un 
extremum absolu. Par extremum, on entend indifféremment un 
maximum ou un minimum. 
S’il y a tant de difficultés pour les extrema des fonctions don- 
nées, on pense bien qu’elles sont décuplées lorsqu’il s’agit de 
déterminer la fonction, sous un signe d’intégration, de telle 
sorte qu’elle procure à la quadrature effectuée un extremum. Et 
tel est l’objet, en principe, du Calcul des Variations ; en plus, il 
peut exister toutes sortes de conditions supplémentaires. 
Lagrange a donné une condition nécessaire, qu’il obtenait par 
un raisonnement très ingénieux. Mais la question n’est alors 
qu’ébauchée, parce que nous ne savons pas si nous obtenons un 
extremum absolu. M. Hadamard explique ce point avec une par- 
faite clarté. Paul du Bois-Reymond faisait aussitôt une objection : 
on écrit une équation différentielle du second ordre, à laquelle 
la fonction inconnue doit satisfaire ; sait-on si cette fonction 
admet une dérivée seconde continue ? 
Grâce à la théorie des fonctions implicites, on sait montrer 
maintenant que cette objection n’a rien d’embarrassant dans le 
cas des intégrales simples. A cet endroit, M. Hadamard introduit 
une courbe qu’il nomme figurative et que M. Carathéorodory 
appelait indicatrice ; il y a lieu aussi de dessiner sa polaire réci- 
proque, la figuratrice. 
