BIBLIOGRAPHIE 
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Ces images géométriques sont toujours commodes et on ne 
saurait trop les employer. 
Après avoir supposé les limites de la quadrature fixes, ce qui 
simplifie beaucoup, M. Hadamard passe aux limites variables, 
ce qui donne des termes complémentaires dans l’équation obte- 
nue par Lagrange. Ceci est bien connu et M. Hadamard l’expose 
très clairement. 
Au milieu du volume, on verra apparaître les fonctionnelles 
ou fonctions de lignes et de surfaces et M. Hadamard cherche 
visiblement à tirer tout le parti possible de cette notion. Cette 
idée est tout à fait nouvelle et heureuse. 
Après l’étude de la variation première, nous passons à la varia- 
tion seconde, aux conditions de Jacobi et de Legendre et aux 
relations entre les deux. 
Puis vient l’exposé de la méthode de Weierstrass et il est juste 
de mentionner que M. Darboux, dans l’étude des géodésiques et 
de Y action de Maupertuis, a, de son côté, utilisé une idée ana- 
logue à celle de Weierstrass, d’une façon indépendante. 
Soit une extrémale, c’est-à-dire une courbe solution de l’équa- 
tion différentielle du second ordre de Lagrange ; Weierstrass 
compare la quadrature effectuée suivant l’extrémale à la quadra- 
ture effectuée le long d’une courbe quelconque ayant lus mêmes 
extrémités, et il fait cette comparaison en exprimant la différence 
par une quadrature effectuée sur la courbe de comparaison 
choisie. 
Appelons E la fonction qui entre alors sous le signe de qua- 
drature ; si E conserve un signe constant pour toutes les courbes 
de comparaison, on est bien certain d’avoir un extremum. Le 
calcul de E est d’ailleurs lié aux propriétés de transversalité des 
extrémales. 
Weierstrass a ainsi établi des conditions suffisantes et elles 
coïncident avec les conditions nécessaires, sauf dans des cas 
exceptionnels que l’on ne rencontre jamais dans les applications. 
On peut donc considérer la question théorique comme résolue 
par Weierstrass. Après l’exposé de ce point de vue, M. Hadamard 
passe aux solutions discontinues (Carathéorodory), puis il 
retourne aux méthodes anciennes et c’est son dernier chapitre. 
Si nous mentionnons que ce livre contient plus d’un théorème 
d’analyse pure, qu’il ne se borne pas au cas d’une seule fonction 
inconnue ni au cas où l’on a seulement dans la quadrature, la 
première dérivée, si nous disons que la représentation paramé- 
trique des courbes est constamment employée après la repré- 
